ELEC 2311 : Physique interne des convertisseurs électromécaniques
Semaines 7 : Énergie et force
Guidance

La densité d'énergie

(S05-39) W = W_m + W_e

est une fonction du temps et des coordonnées spatiales. Ses dérivées partielles peuvent s'écrire, compte tenu des définitions (S05-20) et analogue de W_m et W_e, comme

(S05-40a) ¶ _t W = H .¶ _t B + E. ¶ _t D + ¶ _(t) W

et

(S05-40b) ¶ _i W = H .¶ _i B + E. ¶ _i D + ¶ _(i) W

où les termes H .¶ _t B + E. ¶ _t D et H .¶ _i B + E. ¶ _i D tiennent compte de la variation de la densité d'énergie due à la variation des champs, alors que les termes ¶ _(t) W et ¶ _(i) W représentent la variation de la densité d'énergie due à un changement des propriétés du milieu. Il est important de noter que ces derniers termes ne tiennent pas compte des changements de propriétés dus à une variation du niveau des champs (c'est-à-dire à la saturation), mais uniquement des changements liés à des grandeurs non électromagnétiques (composition chimique, température…).

En ce qui concerne les coénergies, on démontre facilement à partir de la relation (S05-..) que l'on a

(S05-41a) ¶ _(t) W_cm = - ¶ _(t) W_m

et

(S05-41b) ¶ _(t) W_ce = - ¶ _(t) W_e

En utilisant l'expression de l'énergie apparente (S03-96) et l'expression (S05.40), on peut remplacer dans l'équation (S03-95) la densité d'énergie apparente par la densité d'énergie W . On obtient ainsi la loi de conservation de l'énergie

En interprétants chaque terme de (S05-42), on arrive à la conclusion que le dernier terme doit représenter la puissance transmise au milieu par l'intermédiaire de ses inhomogénéités magnétiques.

Rappelons que la notation spéciale utilisée pour la dérivation dans le dernier terme de (S05-42) signifie que l'on ne doit considérer que la partie de la dérivée temporelle qui est due à une variation du milieu dans le temps, pas la partie due à une variation des champs dans le temps. Donc, dans un milieu invariable, le dernier terme est nul même si les champs évoluent dans le temps.

De la même façon que nous avons déduit de (S05-41a) une loi locale de conservation de l'énergie, on peut chercher à déduire de l'équation (S05-41b) une loi locale de conservation de l'impulsion (autrement dit d'équilibre des forces).

Nous écrivons cette loi en partie dans le langage des composantes

(S05-43a) - ¶_t G + ¶_i Tⁱ_j = J x B + r E + ¶_(i) W

ou

(S05-43b) - ¶_t G + ¶_i Tⁱ_j = J x B + r E - ¶_(i) W_c

ou encore

(S05-43c) - ¶_t G + ¶_i Tⁱ_j = J x B + r E - ¶_(i) L

où T est un tenseur, appelé tenseur de Maxwell, qui comporte comme l’énergie un terme magnétique et un terme électrique. Le terme magnétique a pour composantes

(S05-44) T_mⁱ_j = Bⁱ H_j - W_cm dⁱ_j

où le tenseur dⁱ_j est un tenseur dont les composantes diagonales valent 1 et les autres 0.

De son côté, le terme électrique vaut

(S05-45) T_eⁱ_j = Dⁱ E_j - W_ce dⁱ_j

La notation spéciale utilisée pour le dernier terme de (S05-43) signifie à nouveau que seule la partie de la dérivée due à l'inhomogénéité du milieu doit être conservée. Dans un milieu homogène, ce terme est donc nul même si, le champ n'étant pas uniforme, la densité de coénergie n'est pas uniforme.

On peut donc espérer que, dans le cas d'un milieu non homogène, le dernier terme de (S05-43) représente la densité de force à l'endroit des inhomogénéités des matériaux magnétiques.

Malheureusement, ce terme ne vérifie pas le critère de tensorialité. En d'autres mots, la densité de force serait définie de façon différente en fonction du référentiel utilisé. Cette remarque n'empêche cependant pas les formules (S05-43) d'être utilisées en référentiel cartésien.

Il existe une façon de rendre les différents termes de (S05-43) invariants sans faire appel à une structure supplémentaire de l'espace. Pour cela, on considérera la densité de force non pas comme une densité vectorielle, mais comme une grandeur scalaire qui dépend de la " direction ", ou plus précisément du champ de vecteur, selon laquelle on "examine la force". On sait que les translations correspondent à un champ de vecteur uniforme (voir figure S03-1), et les rotations à un champ de vecteur dont la forme a été suggérée en semaine 3 (voir figure S03-2).

Plus généralement, pour tout champ de vecteur u , on montre que l'on a

Les termes de (S05-46) bénéficient de l'invariance vis à vis des changements de référentiels spatiaux. On peut donc raisonnablement considérer le membre de droite comme une définition de la densité de force "selon le champ de vecteur u ".

Le terme u . (J x B + r E ) peut s'interpréter comme la densité de force exercée par l'intermédiaire des sources (il est nul quand les sources sont nulles).

Le terme - £(u)W_c peut s'interpréter comme la force exercée par l'intermédiaire des inhomogénéités du milieu. Il est nul dans un milieu uniforme ( en particulier le vide si on suppose l'espace plat ), ce qui est bien une propriété que l’on peut raisonnablement exiger de toute expression valide de cette densité de force. Ce terme joue un rôle essentiel dans pratiquement tous les dispositifs électrotechniques courants (force sur un noyau plongeur, sur les dents d'un enroulement...). Sur les surfaces de séparation entre matériaux de nature différentes, ce terme comprend un "delta de Dirac", ce qui revient à dire que la répartition de force comporte une densité de surface.

Exercice S05.17 : démontrer (S05-46).

Commentaire S05-1 : À propos du vide (réservé aux lecteurs qui s'intéressent au lien entre l'électromagnétisme et la gravitation).

Lors d'une transformation de Galilée, les termes de (S05-42) d'une part, (S05-46) d'autre part ne restent pas séparément invariants. Cependant, on peut trouver des lois de transformation combinant plusieurs de ces grandeurs.

Exercice S05-18 : trouver les lois de transformation de Tⁱ_j , de S, et G et de W lors d’une transformation de Galilée.

Comme c'est souvent le cas en physique, ces lois de transformation peuvent s'obtenir de façon plus simple dans une formalisme à quatre dimensions. Ceux qui souhaitent tirer parti de cette possibilité peuvent consulter la page qui utilise ce formalisme.

Dernière mise à jour le 05-10-2003