ELEC 2311 : Physique interne des convertisseurs électromécaniques
Semaines 6 : Méthodes de calcul de champs (seconde partie)
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Dans cette page, nous nous intéressons aux moyens permettant d'obtenir par une méthode d'éléments finis un champ approché B qui vérifie de façon exacte l'équation de Maxwell homogène (S03-23a).

Il faut pour cela non seulement que cette équation soit vérifiée à l'intérieur de chaque élément fini, mais encore que l'équation aux frontières qui en découle, à savoir la continuité de la composante normale du champ B, soit satisfaite sur chacune des faces communes à deux éléments finis.

La façon la plus simple d'y parvenir consiste à considérer un champ B uniforme à l'intérieur des éléments finis. En effet, dans ce cas, la divergence d'un champ uniforme est trivialement nulle puisque toutes les dérivées partielles de ses composantes le sont. De plus, dans le cas de champs magnétiques uniformes de part et d'autre d'une face commune à deux éléments finis, l'équation de continuité est identique en tous les points, de sorte qu'il n'y a qu'une relation à satisfaire sur chaque face.

Pour écrire un tel champ en fonction d'un nombre fini de variables, deux méthodes sont possibles.

On prend comme variable les flux magnétiques à travers les faces (dans le cas 2D, les faces sont en fait les arêtes). La condition de continuité sur les faces est alors satisfaite de façon triviale puisque la composante normale du champ B, aussi bien d'un côté que de l'autre de la face, est égale au flux qui traverse la face divisé par la surface de celle-ci.

Par contre, ces variables ne sont pas indépendantes puisque, pour satisfaire la loi de Gauss (S03-23b) , la somme de ces flux sur toutes les faces d'un élément doit être nulle. On doit donc introduire dans le système d'équations autant de contraintes qu'il y a d'éléments.

Compte tenu de cette contrainte, il reste deux degrés de liberté par élément dans le cas d'un problème 2D utilisant des éléments triangulaires, et trois degrés de liberté dans le cas d'un problème 3D utilisant des éléments tétraédriques, ce qui correspond dans les deux cas au nombre de composantes du champ magnétique dans l'élément.

Examinons maintenant le cas 2D plus en détail.

Considérons à nouveau un élément triangulaire dont les sommets sont numérotés de 1 à 3.

Nous appelons F₁ le flux à travers la face opposée au sommet 1, F₂ le flux à travers la face opposée au sommet 2 et F₃ le flux à travers la face opposée au sommet 3. Comme nous l'avons signalé plus haut, il doit exister entre ces trois flux une contrainte

(S07-30) F₁ + F₂ + F₃ = 0

Au flux F₁ , nous associons un champ magnétique valant sur l'élément

(S07-31a)

(S07-31b)

Le champ (S07-31) est un champ radial par rapport au sommet 1. Il n'occasionne donc aucun flux à travers les faces adjacentes à ce sommet. Sa divergence est contante sur tout l'élément et vaut

(S07-32)

soit le flux F₁ divisé par la surface de l'élément.

Exercice proposé S07-... : le montrer.

Le fait que la divergence de (S07-31) ne soit pas nulle ne prête pas à conséquence car, si on ajoute à (S07-31) des champs similaires, mais associés aux flux F₂ et F₃ à travers les deux autres faces, on voit immédiatement que, compte tenu de la contrainte (S07-30), la divergence de l'ensemble est automatiquement nulle.

La variable discrète F₁ détermine une partie du champ B sur les deux éléments séparés par la face sur laquelle F₁ est défini (sur un seul élément si la face fait partie de la frontière du domaine de calcul). Ces deux éléments (ou un seul si la face fait partie de la frontière du domaine de calcul) forment ce que l'on appelle un élément de face (voir figure S07-8).

Figure S07-8 : élément de face (en 2D)

Le nombre de degré de liberté du problème est égal au nombre de faces moins le nombre d'éléments, moins le nombre de contraintes supplémentaires imposées au flux (normalement des conditions imposées aux limites du domaine de calcul). Ces degrés de liberté doivent être utilisés pour satisfaire au mieux aux autres équations de la magnétostatique (relations constitutives et équations d'évolution du second volet).

Comme nous l'avons déjà signalé en semaine 3, il est intéressant d'utiliser comme variable le potentiel vecteur défini par l'équation (S03-25), car dans ce cas l'équation de Maxwell homogène (S03-23a) est automatiquement vérifiée.

L'intérêt est particulièrement grand lors d'un calcul 2D car, dans ce cas, le potentiel vecteur ne comporte plus qu'une seule composante non nulle, à savoir A_z .

On ne peut pas supposer le potentiel vecteur constant sur les éléments, car cela reviendrait à annuler partout le champ B. La solution utilisable la plus simple est donc de considérer que le potentiel vecteur est sur chaque élément une fonction linéaire des coordonnées, de sorte que le champ magnétique B soit uniforme sur chaque élément, comme dans la méthode des éléments de face.

Pour spécifier un tel potentiel vecteur, la solution la plus simple consiste à prendre comme variables discrétisées la valeur du potentiel vecteur à l'endroit des nœuds. De cette façon, la continuité du potentiel vecteur au passage d'un élément à l'autre est garantie de façon triviale puisque l'interpolation linéaire faite sur la face commune aux deux éléments est la même, que l'on considère que les sommets de cette face sont des nœuds qui appartiennent à l'un ou l'autre des deux éléments concernés.

Examinons maintenant le cas 2D plus en détail.

Considérons à nouveau un élément triangulaire dont les sommets sont numérotés de 1 à 3.

Nous appelons A_z1 la valeur du potentiel vecteur A_z au sommet 1, A_z2 la valeur du potentiel vecteur au sommet 2 et A_z3 la valeur de ce potentiel au sommet 3.

La façon la plus simple de décrire l'interpolation linéaire qui fournit la valeur de A_z en tout point de l'élément est de la décrire sous la forme

(S07-40) A_z = A_z1 l₁ + A_z2 l₂ + A_z3 l₃

où les fonctions l₁ , l₂ et l₃ sont les éléments nodaux de Whitney, définis comme

(S07-40a)

(S07-40b)

(S07-40c)

où z₁ , z₂ et z₃ sont les coordonnées affines définies par l'équation (S07-24). Compte tenu de la relation (S07-25), il est clair que l'on a

(S07-41)l₁ + l₂ + l₃ = 1

Au potentiel A_z1 , nous associons un champ magnétique valant sur l'élément

(S07-42a)

(S07-42b)

Le champ (S07-42) est un parallèle au côté opposé au sommet 1. Il n'occasionne donc aucun flux à travers cette face. Sa divergence est nulle.

La variable discrète A_z1 détermine une partie du champ B tous les éléments adjacents au nœud 1. Ces éléments forment ce que l'on appelle un élément nodal de Whitney (voir figure S07-10).

Figure S07-10 : élément nodal de Whitney (en 2D)

On notera que les relations entre les variables nodales et variables de face est très simple, puisque l'on a simplement

(S07-43a) F₁ = A_z3 - A_z2

(S07-43b) F₂ = A_z1 - A_z3

(S07-43c) F₃ = A_z2 - A_z1

Exercice S07-... : transformer l'expression d'un champ écrit en terme d'éléments nodaux pour le mettre sous la forme d'un champ écrit en terme d'éléments de face.

Le nombre de degré de liberté du problème est égal au nombre de nœuds moins le nombre contraintes supplémentaires imposées au potentiel vecteur (normalement des conditions imposées aux limites du domaine de calcul). Ces degrés de liberté doivent être utilisés pour satisfaire au mieux aux autres équations de la magnétostatique (relations constitutives et équations d'évolution du second volet).

Remarque concernant le calcul de l'énergie

Il est facile de calculer l'énergie associée à un champ discrétisé par une des méthodes ci-dessus, puisque le champ magnétique B est uniforme sur chaque élément. Il suffit donc de multiplier la densité d'énergie (ordinairement tabulée à l'avance en fonction de la valeur de B) correspondant à chaque élément par la surface de celui-ci, et de sommer les résultats sur l'ensemble de tous les éléments.

On peut de la même façon obtenir l'intégrale de n'importe quelle densité fonction de B. Par exemple, si on dispose d'une fonction donnant la densité des pertes magnétiques (hystérésis et pertes dues aux courants de Foucault microscopiques et mésoscopiques) en fonction du champ B calculé, on peut facilement obtenir une valeur pour les pertes magnétiques. Cette méthodes est souvent utilisée avec un champ B calculé sans tenir compte ni l'hystérésis, ni des courants Foucault à petite échelle. Il est clair que l'on ne peut pas prétendre dans ce cas que le logiciel prend en compte ces phénomènes de façon exacte ... une nuance sur laquelle les vendeurs de logiciel n'insistent guère !

Dernière mise à jour le 24-10-2002