ELEC 2311 : Physique interne des convertisseurs électromécaniques
Semaines 6 : Méthodes de calcul de champs (seconde partie)
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Dans cette page, nous nous intéressons aux moyens permettant d'obtenir par une méthode d'éléments finis un champ approché H qui vérifie de façon exacte l'équation de Maxwell inhomogène (S03-57).

Il faut pour cela non seulement que cette équation soit vérifiée à l'intérieur de chaque élément, mais encore que l'équation aux frontières qui en découle, à savoir la continuité de la composante tangentielle de H, soit satisfaite pour chacune des faces communes à deux éléments finis.

Méthode 1 : méthode des éléments d'arête

Nous limitant aux problèmes à deux dimensions et aux éléments triangulaires, la façon la plus simple d'y parvenir est de supposer que la composante tangentielle de H est constante tout le long de chaque arête, et de prendre comme variables discrétisées la circulation (c'est-à-dire l'intégrale de ligne) de H le long de chaque arête.

On remarque immédiatement que les variables ainsi définies sont soumises à une contrainte, puisque, pour satisfaire à la loi d'Ampère (S03-58), il faut que la somme de ces circulations sur les trois côtés de l'élément soit égale au courant qui traverse l'élément.

Examinons maintenant la question plus en détail.

Considérons à nouveau un élément triangulaire dont les sommets sont numérotés de 1 à 3.

La densité de courant J_tot n'a qu'une composante non nulle, à savoir J_{tot z} .

Nous appelons u₁₂ la circulation du champ H sur le côté 1-2, u₂₃ la circulation du champ H sur le côté 2-3 et je vous laisse deviner comment u₃₁ est défini.

Comme signalé ci-dessus, il doit exister entre ces trois circulations une contrainte

(S07-60) u₁₂ + u₂₃ + u₃₁ = I

où I est le courant qui traverse l'élément.

A la circulation u₁₂ , nous associons un champ H valant sur l'élément

(S07-61) u₁₂ w₁₂

où w₁₂ est un des éléments d'arête de Whitney, définis comme

(S07-62a)

(S07-62b)

(S07-63a)

(S07-63b)

(S07-64a)

(S07-64b)

Le champ (S07-61) est un champ qui "tourne" autour du sommet 3. Il n'est pas uniforme mais sa composante tangentielle au côté 1-2 est bien constante sur tout ce côté (voir figure ci-dessous)

Figure S07-14

Le rotationnel du champ (S07-61) n'est pas nul. C'est un champ dont seule composante non nulle est la composante en z, qui vaut

(S07-65)

soit la circulation u₁₂ divisée par la surface de l'élément.

Exercice S07-... : le montrer

Le fait que le rotationnel de (S07-61) ne soit pas nul ne prête pas à conséquence car, si on ajoute à (S07-61) des champs similaires, mais relatifs aux circulations u₂₃ et u₃₁ sur les deux autres arêtes, on voit immédiatement que, compte tenu de la contrainte (S07-60), le rotationnel du champ ainsi obtenu a pour seule composante non nulle la composante selon z, laquelle vaut le courant I divisé par la surface de l'élément, soit J_{tot z} .

On notera que le champ H ainsi obtenu n'est pas uniforme dans le cas général, mais qu'il est uniforme dans le cas particulier où la densité de courant est nulle.

La variable discrète u₁₂ détermine une partie du champ H sur les deux éléments adjacents à l'arête sur laquelle elle est définie (sur un seul élément si cette arête fait partie de la frontière du domaine de calcul). Ces deux éléments (ou un seul si l'arête fait partie de la frontière du domaine de calcul) forment ce que l'on appelle un élément d'arête de Whitney (voir figure ci-dessous).

Figure S07-15

Le nombre de degrés de liberté du problème est égal au nombre d'arêtes, moins le nombre d'éléments, moins le nombre de contraintes supplémentaires imposées aux circulations (ordinairement des conditions imposées aux limites du domaine de calcul). Ces degrés de libertés doivent être utilisés pour satisfaire au mieux aux autres équations de la magnétostatique (relations constitutives et équations d'évolution du premier volet).

Méthode 2 : méthode nodale

Dans un domaine dépourvu de courants, le champ magnétique H dérive d'un potentiel scalaire. On peut alors prendre comme variables la valeur de ce potentiel aux noeuds. Nous ne développerons pas d'avantage cette méthode, qui a l'inconvénient de n'être valable que dans le cas particulier d'un domaine de calcul sans courants.

Remarque concernant le calcul de la coénergie

Dans un domaine dépourvu de courants, il est facile de calculer la coénergie associée à un champ discrétisé par une des méthodes ci-dessus, puisque le champ magnétique H est alors uniforme sur chaque élément. Il suffit donc de multiplier la densité de coénergie (qui peut être tabulée à l'avance en fonction de la valeur de H) correspondant à chaque élément par la surface de celui-ci, et de sommer les résultats sur l'ensemble de tous les éléments.

Comment procéder en présence de courant ?

Dernière mise à jour le 30-10-2005