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Dans la situation considérée, il n'y a pas d'apparition de charges (en tout cas pas d'apparition de charges libres, mais on pourrait considérer des charges fictives, les charges liées, à l'interface entre les deux diélectriques).

Nous allons cependant, par analogie avec le cas de l'exercice S02-19, chercher une solution où le champ à l'extérieur de l'inclusion se compose d'un champ uniforme (égal au champ à grande distance) et d'un champ dipolaire. Nous reprenons les expressions établies dans cet exercice S02-19 en remplaçant e par e₁ . On obtient

(S02-191a)

(S02-191b)

(S02-191c)

et

(S02-192a)

(S02-192b)

(S02-192c)

avec un potentiel de la forme

(S02-193)

où la valeur de p est indéterminée à ce stade.

Il faut aussi une expression pour le champ à l'intérieur de l'inclusion. Il est normal de chercher un champ de la même forme qu'à l'extérieur mais, comme on ne peut pas admettre une singularité au centre de l'inclusion, l'existence du terme dipolaire est impossible pour le champ à l'intérieur de l'inclusion. Nous supposerons donc que le champ interne est un champ uniforme, mais dont la valeur n'est pas forcément E_o ; soit E_inc cette valeur. Nous pouvons alors décrire ce champ par des expressions analogues à (S02-174)(S02-175)(S02-176), soit, en utilisant E_inc au lieu de E_o et e₂ au lieu de e :

(S02-194a)

(S02-194b)

(S02-194c)

et

(S02-195a)

(S02-195b)

(S02-195c)

avec un potentiel

(S02-196) V = - E_inc r cos q

Les deux jeux d'expressions vérifient certainement les équations de l'électrostatique chacune dans leur domaine, puisqu'il s'agit de solutions classiques dérivées du champ Coulombien. Il reste à imposer que les conditions aux frontières de l'inclusion soient bien vérifiées, c'est-à-dire que, en r = R, on vérifie les conditions (S01-11) ou (S01-14), ainsi que (S02-16).

En ce qui concerne la condition sur les potentiels, l'égalité de (S02-193) et de (S02-196) sur la frontière r = R fournit

(S02-197)

soit

(S02-198)

On aurait obtenu la même équation en égalant les composantes tangentielles du champ électrique, soit (S02-191b) et (S02-194b).

Par ailleurs, la condition sur la composante normale de consiste en l'égalité de (S02-192a) et (S02-195a), soit

(S02-199)

soit

(S02-200)

Les deux équations (S02-198) et (S02-200) forment un système linéaire de deux équations à deux inconnues, d'où l'on peut déduire par les méthodes habituelles

(S02-201)

(S02-202)

Le champ à l'intérieur de l'inclusion peut donc être supérieur ou inférieur à E_o selon que l'on a e₁ > e₂ ou e₁ < e₂ .

Dans le cas d'une bulle de gaz à l'intérieur d'un isolant, ce champ peut être dangereux parce que la rigidité diélectrique du gaz est ordinairement inférieur à celle du diélectrique. On pourrait penser qu'un claquage dans le gaz est sans danger parce que le gaz se "répare" spontanément une fois la décharge électrique terminée. C'est vrai à courte échéance, mais un claquage dans le gaz peut endommager l'isolant à la surface de la bulle et le rendre localement conducteur. L'isolant endommagé se comporte alors comme une inclusion conductrice (voir exercice S02-19), ce qui occasionne une concentration de champ et donc une extension progressive du défaut (voir solution de l'exercice S02-19).

Il faut donc réduire la valeur du champ électrique à l'intérieur de la bulle. Comme la permittivité diélectrique de celle-ci est proche de celle du vide, on a intérêt à utiliser un isolant dont la permittivité diélectrique est, elle aussi, proche de celle du vide, donc aussi faible que possible.

En ce qui concerne le champ à l'extérieur de l'inclusion, on l'obtient en portant (S02-201) dans les équations (S02-191). On obtient

(S02-203a)

(S02-203b)

et

(S02-203c)

Si e₂ > e₁ , le champ extérieur est maximum en r = R et q = 0 ou p . On a à ces endroits

(S02-204)

La situation est analogue à celle rencontrée lors de la solution de l'exercice (S02-19), mais avec un facteur d'amplification plus faible.

Si e₂ < e₁ , le champ extérieur est maximum en r = R et q = p/2 . On a à ces endroits

(S02-205)

Les formules (S02-204) et (S02-205) montrent que le facteur d'amplification du champ à l'extérieur de l'inclusion sphérique est toujours inférieur à 3.

Dernière mise à jour le 19-09-2001.