FSAC 1430 Physique T4 : électricité et magnétisme
Semaine 3 : Courant et modèles locaux de conduction
Guidance

Rappel de la loi d'Ohm en théorie des circuits

A l'issue de T2, on sait que la tension qui apparaît aux bornes d'une résistance est proportionnelle au courant qui la parcourt : c'est la loi d'Ohm

(S03-25) u = R i

On peut aussi consulter

p. 170 de A. Guissard et R. Prieels, syllabus fsa1402, janvier 1998 (p. 158 de la version papier).

La loi d'Ohm n'est pas une loi universelle : ce que l'on appelle "résistance" en théorie des circuits est un élément défini par la relation (S03-25). De même, les composants appelés "résistances" en électronique ont été réalisés de façon à vérifier aussi fidèlement que possible la loi (S03-25). On trouvera des contre-exemples en

Hecht, chapitre 19, commentaire de la page 734.

Lorsque qu'un corps matériel est parcouru par un courant, la tension qui apparaît à ses extrémités vérifie souvent (mais pas toujours) la loi d'Ohm (S03-25). Lorsque tel est le cas, il suffit, du moins en régime stationnaire, de rapporter (S03-25) dans (S03-15) pour obtenir la forme originelle de la loi de Joule

(S03-26) Dw = R i² Dt

Si le courant varie dans le temps, c'est dans (S03-16) qu'il faut introduire la loi d'Ohm, et l'on obtient alors

(S03-27)

On peut aussi obtenir la puissance instantanée en introduisant la loi d'Ohm (S03-25) dans (S03-14). On obtient

(S03-28) p = R i²

En introduisant (S03-28) dans l'intégrale (S03-16)), on retrouve bien entendu la forme (S03-27) de la loi de Joule.

On peut aussi exprimer la puissance et l'énergie en fonction de la tension. On obtient facilement

(S03-29)

et

(S03-30)

Une caractéristique importante des grandeurs variant rapidement dans le temps est leur valeur efficace, ou moyenne quadratique (en anglais valeur rms, c'est-à-dire root mean square).

Prenant l'exemple d'un courant i, la valeur efficace est définie comme

(S03-31)

où les <> désignent la valeur moyenne de la grandeur insérée.

Les expressions (S03-28) et (S03-29) justifient l'usage de cette valeur pour le courant et la tension respectivement, car elles montrent que la puissance moyenne dissipée dans une résistance (linéaire) est égale à la puissance qui serait dissipée si on remplaçait le courant (ou la tension) par un courant (une tension) continu(e) de même valeur efficace.

Exercice proposé S03-8 : valeur efficace d'un courant alternatif sinusoïdal.

On retiendra que, pour un courant sinusoïdal,

(S03-32)

où i_c est la valeur de crête du courant. On a bien entendu une expression analogue pour la tension.

Exercice proposé S03-9 : valeur efficace d'une tension en créneaux.

Exercice proposé S03-10 : valeurs de crête du champ dans des câbles soumis à une tension alternative sinusoïdale.

Dans le cas d'un corps cylindrique constitué d'un matériau uniforme et parcouru par un courant dans le sens de sa longueur, lorsque la loi d'Ohm est applicable, la résistance R est fournie par la loi de Pouillet

(S03-33)

où L est la longueur, S la section droite et r un coefficient qui ne dépend que du matériau dont le corps est constitué ( il ne dépend pas des dimensions géométriques). Ce coefficient s'appelle la résistivité. On trouve dans la littérature des tableaux donnant la valeur de r pour différents matériaux.

Hecht, tableau 19.2, p.737

pp. 172-173 de A. Guissard et R. Prieels, syllabus fsa1402, janvier 1998 (pp. 160-161 de la version papier).

Goodfellow, index des matériaux

WebElements

Les matériaux classés comme isolants sont aussi le siège de phénomènes de conduction, mais avec une résistivité beaucoup plus élevée que celle des conducteurs. Selon un catalogue des Câbleries de Charleroi, la résistivité du PRC (polyéthylène réticulé) est > 10¹⁴W cm²/cm .

Parfois, c'est l'inverse de la résistivité, à savoir la conductivité

(S03-34)

qui est fournie.

pp. 172-173 de A. Guissard et R. Prieels, syllabus fsa1402, janvier 1998 (pp. 160-161 de la version papier).

La résistivité r , donc aussi la conductivité s , dépendent de l'état du matériau et, notamment, de sa température q . Les tables de résistivité ou de conductivité ne sont donc utilisables pour des déterminations quantitatives que si la température correspond aux valeurs fournies est indiquée.

ARIES Properties Archive

Université de Toulon et du Var,IUT SéRéCom

On définit le coefficient de température

(S03-35)

Nous vous laissons le soin de déterminer quelle est l'unité physique de a ?

Pour de petites variations de températures autour d'une température de référence q_o , on peut écrire

(S03-36) r = r_o [ 1 + a_o ( q - q_o )]

La valeur du coefficient de température est indiquée dans la littérature.

Hecht, tableau 19.3, p. 738

pp. 172-173 de A. Guissard et R. Prieels, syllabus fsa1402, janvier 1998 (pp. 160-161 de la version papier).

Goodfellow, index des matériaux

Exercice proposé S03-11 : démontrer (S03-36) à partir de (S03-35).

Pour beaucoup de métaux purs, la résistivité est grossièrement proportionnelle à la température absolue. En particulier, pour le cuivre, la résistivité est, entre 0°C et 200°C pratiquement proportionnelle à 235° + q .

Copper Development Association UK

Exercice proposé S03-12 : coefficient de température du cuivre.

Exercice proposé S03-13 : qu'est-ce qui fait mourir les ampoules, les spots des discothèques et leurs modulateurs ?

La loi de Pouillet (S03-33) ne s'applique comme telle que dans des situations où la densité de courant est uniforme (corps rectiligne de section constante). Pour étudier des situations plus complexes, il est nécessaire de remplacer la loi d'Ohm par une loi locale. Comme la tension u est associée au champ électrique et le courant i à la densité de courant , il s'agira d'une relation de proportionnalité entre ces grandeurs. Par comparaison avec la loi de Pouillet, on soupçonne que cette loi sera

(S03-37) dans les milieux conducteurs linéaires.

Exercice proposé S03-14 : montrer que (S03-37) permet de retrouver la loi de Pouillet dans le cas particulier d'une résistance cylindrique parcourue par un courant dans le sens de sa longueur (il s'agit en fait d'un problème plan).

De même que, en modèle circuit, on a pu exprimer la puissance en terme de la résistance R et du courant (formule S03-25), on peut en introduisant (S03-37) dans l'expression (S03-18)exprimer la densité de puissance en fonction de la résistivité et de la densité de courant :

(S03-37B) P= r J²

Compte tenu de (S03-34), on peut remplacer (S03-37) par la relation équivalente

(S03-38) dans les milieux conducteurs linéaires.

De même que, en modèle circuit, on a pu exprimer la puissance en terme de la conductance 1/R et de la tension (formule S03-29), on peut en introduisant (S03-38) dans l'expression (S03-18) exprimer la densité de puissance en fonction de la conductivité et du champ électrique :

(S03-38B) P= s E²

Comme la loi d'Ohm des circuits (S03-33), la loi d'Ohm locale (S03-37) ou (S03-38) n'est pas une loi générale. Sous sa forme (S03-37) ou (S03-38), elle n'est valable que pour les matériaux linéaires, isotropes et immobiles ! Elle s'applique néanmoins à un grand nombre de situations pratiques.

Comme nous l'avons indiqué plus haut, le courant électrique peut s'interpréter comme un déplacement de particules chargées.

Dans un milieu matériel, le déplacement des particules mobiles (ions dans une solution, électrons dans un conducteur métallique, ions et électrons dans un gaz ionisé) n'est pas régi uniquement par le champ électrique , mais aussi par les collisions de ces particules avec les autres particules constitutives (atomes du réseau cristallin dans les solides, autres ions et molécules dans un liquide ou un gaz). Le mouvement résultant sera semblable à celui de petites particules dans un fluide visqueux : la vitesse moyenne n'augmente pas indéfiniment sous l'effet de la force, mais tend vers une valeur stationnaire proportionnelle à la force. Pour tenter de montrer ceci, nous n'allons pas faire une analyse quantitative exacte du mouvement, mais nous contenter d'un raisonnement qualitatif qui nous conduise à un modèle simple de conduction.

Nous considérons le cas du mouvement des électrons dans un corps métallique. En l'absence de champ électrique, les électrons ont un mouvement complètement désordonné, dû à leur énergie propre (énergie d'agitation thermique). On peut estimer la vitesse correspondante v_a en exprimant que l'énergie cinétique d'agitation thermique est de l'ordre de kT, où k est la constante de Boltzmann (qui intervient notamment dans la théorie cinétique des gaz) et T la température absolue

(S03-39)

ce qui donne, à température ordinaire, une vitesse de l'ordre de 10⁵ m/s.

Les électrons entrent régulièrement en collision avec les atomes du métal et, à chaque collision, leur trajectoire change de direction. Le temps qui sépare deux collisions est variable : nous désignerons par t sa valeur moyenne. En présence d'un champ électrique , l'électron de charge -e est soumis à une force (en passant sous silence le fait que l'électron est soumis à un champ électrique microscopique, non uniforme, qui n'est pas forcément égal au champ macroscopique ), et subit par conséquent une accélération

(S03-40)

où m_e est la masse de l'électron et est sa vitesse totale. Cette vitesse est la somme de la vitesse aléatoire et de la vitesse due à l'action du champ électrique . La vitesse est constante entre deux collisions et, comme sa direction est aléatoire, nous admettrons que sa moyenne sur un grand nombre d'électrons est nulle. Nous pouvons alors nous imiter à la part due à l'action du champ électrique et vérifiant l'équation du mouvement

(S03-41)

Il en résulte un mouvement uniformément accéléré dans le sens opposé au champ électrique. En prenant comme origine du temps l'instant d'une collision, nous obtenons par intégration de l'équation précédente

(S03-42)

Pour pouvoir déterminer la densité de courant (S03-13), nous devons évaluer la moyenne de v pour un grand nombre d'électrons. Nous admettrons que les collisions entre électrons et atomes sont des collisions élastiques, semblables à celles de deux boules de billard dont l'une serait beaucoup plus petite que l'autre. Dans une telle collision, la vitesse de l'électron après la collision a la même norme qu'avant mais une direction distribuée au hasard autour de l'atome. Si on prend la moyenne sur un grand nombre d'électrons, on trouvera une valeur nulle : la valeur moyenne de v(0) dans (S03-42) est donc nulle. La vitesse moyenne déduite de (S03-42) est alors

(S03-43)

puisque la vitesse varie linéairement de 0 à sur l'intervalle de temps moyen t entre deux collisions. La relation (S03-43) nous montre que la vitesse moyenne est bien proportionnelle à la force, comme dans un fluide visqueux. L'expression de la densité de courant est finalement

(S03-44)

La comparaison de (S03-44) avec (S03-38) montre que

(S03-45)

Le modèle de conduction que nous venons de présenter pour les métaux a été proposé au début du 19ème siècle (modèle de Drude). S'il permet de rendre compte qualitativement de la remarquable linéarité de la relation entre le champ électrique et la densité de courant, il se heurte à une difficulté fondamentale importante : le libre parcours moyen prend des valeurs qui ne sont pas compatibles avec le modèle de collisions. Ce paradoxe n'a pu être levé qu'avec l'introduction de la mécanique quantique et de la reconnaissance du caractère ondulatoire des particules, et notamment de l'électron.

Exercice proposé S03-15 : valeurs prédites par le modèle corpusculaire dans le cas du cuivre.

Exercice proposé S03-16 : pourquoi les ampoules s'allument immédiatement.

Le mécanisme de conduction décrit ci-dessus conduit à une relation linéaire entre le champ E et la densité de courant J . Cette linéarité cesse d'être si le nombre de corpuscules chargés mobiles se modifie sous l'effet du champ électrique. Cette situation se rencontre si les particules atteignent sous l'action du champ électrique une vitesse suffisante pour ioniser les atomes ou les molécules qu'elles percutent, ce qui suppose

- soit que le champ soit très élevé ;

- soit que la densité du milieu soit faible, de sorte que les corpuscules ont le temps d'acquérir une vitesse importante entre deux collisions.

Cette situation ne se produit pas dans les bons conducteurs car il faudrait pour y faire apparaître un champ électrique élevé y faire circuler une densité de courant énorme. En outre, les bons conducteurs sont des solides, donc ont une densité élevée.

Par contre, dans les isolants, il est possible d'atteindre des valeurs de champ électrique pour lesquelles le phénomène d'augmentation du nombre de corpuscules mobiles se produit. Pour une valeur suffisamment élevée du champ électrique, le courant de conduction augmente rapidement : c'est le phénomène de claquage évoqué en semaine 1.

Le phénomène de claquage peut aussi dépendre de la nature des électrodes, car c'est parfois à la surface de celles-ci que se produit la multiplication du nombre de corpuscules chargés (les corpuscules négatifs qui frappent l'électrode positive provoquent l'émission de corpuscules positifs et vice versa).

Lorsque l'isolant est un fluide (gaz, huile...), le claquage peut ne pas entraîner la destruction du dispositif. Au contraire, le claquage des isolants solides occasionne généralement leur destruction.

Exercice proposé S03-17 : comparaison entre lignes aériennes et câbles avec isolant du point de vue du claquage.

Commentaire S03-5 : pouvoir isolant du vide

Dernière mise à jour le 8-10-2001.