Exemple de solution à l'exercice S10-10 : calcul de tous les champs à partir d'un seul en utilisant les équations de Maxwell

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On part de l'expression fournie pour le champ électrique, soit

(S10-30a) E_x = 0

(S10-30b) E_y = 0

(S10-30c) E_z = E_o e^{a t - b x}

Dans le vide, l'équation (S10-11) dit que le champ D s'obtient en multipliant le champ E par e_o . Les composantes de D sont donc

(S10-50a) D_x = 0

(S10-50b) D_y = 0

(S10-50c) D_z = e_o E_o e^{at - bx}

On vérifie immédiatement en appliquant (S10-10) à ce champ que la densité de charge

(S10-51) r = div D = ¶_x D_x + ¶_y D_y + ¶_z D_z

est nulle.

Puisque J est nul, la densité de courant total est égale à celle du courant de déplacement, soit, par (S10-1)

(S10-52a) J_{tot x} = 0

(S10-52b) J_{tot y} = 0

(S10-52c) J_{tot z} = a e_o E_o e^{at - bx}

Cette densité de courant est égale au rotationnel du champ H par (S10-9), ou plutôt sa forme équivalente (S05-3). On en déduit que le champ H doit avoir pour composantes

(S10-53a) H_x = K_x

(S09-53b) H_y = - (a/b) e_o E_o e^{at - bx} + K_y

(S10-53c) H_z = K_z

où K_x , K_y et K_z sont les composantes d'un vecteur K quelconque, hormis le fait qu'il est soumis à la condition

(S10-54) rot K = 0

Dans le vide, l'équation (S10-12) dit que le champ B s'obtient en multipliant par m_o le champ H, ce qui fournit

(S10-55a) B_x = m_o K_x

(S10-55b) B_y = - (a/b) e_o m_o E_o e^{at - bx} + m_o K_y

(S09-55c) B_z = m_o K_z

Pour que ce champ obéisse à l'équation (S10-8), il faut que

(S10-56) div K = 0

Pour satisfaire simultanément (S10-54) et (S10-56), il faut que le champ K soit uniforme, c'est-à-dire indépendant des coordonnées x, y et z .

Introduisons maintenant l'expression (S10-30) de E et l'expression (S10-55) de B dans la seule équation de Maxwell qui n'a pas encore été utilisée, soit (S10-7). On obtient

(S10-57a) ¶_t (m_o K_x ) = 0

(S10-57b) b E_o e^{at - bx} - (a²/b) e_o m_o E_o e^{at - bx} + ¶_t (m_o K_y ) = 0

(S10-57c) ¶_t (m_o K_z ) = 0

Puisque K_y ne dépend pas de x, la seule façon de satisfaire l'équation (S10-57b) est d'admettre que K_y ne dépend pas non plus de t et que

(S10-58) b² = a² e_o m_o

Compte tenu de (S10-57a) et (S10-57c), le vecteur K ne dépend donc pas de t. Il s'agit donc d'une constante aussi bien vis à vis des coordonnées spatiales que temporelle.

De l'équation (S10-58), on déduit

(S10-59)

où

(S10-60)

est une constante physique (on montrera en T5 qu'il s'agit de la vitesse de la lumière dans le vide).

Dernière mise à jour le 11-11-2002