Circuits glissants
1. La théorie en bref

La notion de coénergie est souvent ignorée ou maltraitée. La principale raison en est que, dans les modèles linéaires (c'est-à-dire sans prise en compte de la saturation magnétique), l'énergie w_m et la coénergie w_cm ont la même valeur. On peut donc, dans ce cas, remplacer la coénergie par l'énergie dans les formules vues précédemment, telles que (S01-23), (S01-24) et (S01-25), à condition pourtant de considérer cette grandeur comme une fonction des courants.

Si l'on veut utiliser comme variables indépendantes les flux plutôt que les courants, ces formules doivent être remplacées par

(S01-30)

(S01-32)

On voit qu'un signe " - " est apparu dans l'équation (S01-32) par rapport à son homologue (S01-25). Ceci peut surprendre, puisque énergie et coénergie ont la même valeur dans le cas linéaire. Pour vous en convaincre, je vous propose de considérer le cas d'un dispositif filiforme linéaire à un seul circuit caractérisé par un coefficient d'inductance L ( q ) . La variable mécanique q dont l'inductance L dépend pourrait être par exemple la position d'un noyau plongeur dans une bobine. Dans un tel circuit, la relation flux-courant n'est autre que

(S01-33) y = L(q) i

On peut alors définir

(S01-34)

et

(S01-35)

Compte tenu de (S01-33), l'énergie w_m et la coénergie w_cm ont la même valeur, ce qui correspond à l'affirmation ci-dessus selon laquelle c'est le cas pour tout système linéaire.

Pourtant, la dérivée partielle de (S01-34) par rapport à q n'est pas égale à la dérivée partielle de (S01-35) par rapport à q . Ces dérivées partielles ont des signes opposés, du fait que L se trouve au numérateur de la première expression et au dénominateur de la seconde.

Ainsi donc, même dans le cas linéaire, il est intéressant pour éviter les confusions d'utiliser deux notions différentes, selon que les variables indépendantes sont les courants ou les flux. Dans les cas non linéaire (avec prise en compte de la saturation magnétique), les erreurs commises en confondant les deux notions ne sont plus de "simples" erreurs de signe. Pour que les équations ci-dessus restent valables dans le cas non linéaire, il convient de considérer l'énergie w_m comme une fonction des flux, et la coénergie w_cm comme une fonction des courants. Confondre les deux notions est possible dans le cas linéaire, mais risque de vous empêcher de voir plus loin que le bout de votre ... partie linéaire des caractéristiques magnétiques.

La comparaison de (S01-23) et de (S01-30) montre que l'énergie possède les mêmes avantages que la coénergie du point de vue de l'expression des symétries du dispositif.

L'énergie possède cependant un avantage évident sur la coénergie. En effet, l'énergie obéit à une loi de conservation : on peut parler d'une conversion d'énergie électrique en énergie mécanique. Au contraire, la coénergie n'obéit pas à une loi de conservation : il serait donc absurde de dire, par exemple, qu'une certaine quantité de coénergie électrique a été convertie en coénergie mécanique. Puisque la théorie peut être développée aussi bien en utilisant la notion d'énergie que celle de coénergie, on peut se demander pourquoi nous n'avons pas fait le premier choix.

La raison tient à des considérations pratiques relatives au choix des variables indépendantes. Par exemple, en pratique, les courants sont souvent plus aisément accessibles à la mesure que les flux. Ils se prêtent aussi mieux à la mise en correspondance du modèle "circuit" avec un modèle local. Par exemple, dans un bobinage, les différentes spires sont souvent connectées en séries : elles sont donc parcourues par le même courant, qui est le courant du bobinage, alors que la donnée du flux encerclé par l'ensemble du bobinage ne nous renseigne que sur la somme des flux des différentes spires. Dans beaucoup de cas, on est donc amené à choisir les courants comme variables indépendantes, et donc à utiliser la notion de coénergie.

Notons encore que, lorsque l'on utilise la loi de conservation de l'énergie, celle-ci peut être exprimée aussi bien en fonction des courants qu'en fonction des flux. Le choix est une question d'opportunité pratique. Il est cependant plus "naturel" de l'exprimer en fonction des flux, car on se prive dans l'autre cas de possibilités théoriques qui pourraient s'avérer intéressantes, par exemple pour le contrôle des erreurs de discrétisation lors d'une simulation de l'évolution temporelle d'un dispositif. Il convient donc de n'exprimer l'énergie en fonction des courants que lorsqu'on a une bonne raison de le faire. Le fait d'éviter la notion de flux n'est pas à mes yeux une raison suffisante ... mais cela, c'est une opinion toute personnelle.

Dernière modification le 09-07-2004.