Circuits glissants
3. Modélisation à un circuit glissant linéique des machines DC à collecteur électronique

Modèle filiforme

Nous considérons le modèle filiforme décrit à la page précédente comme modèle de référence. Ce modèle est caractérisé par l'expression du flux dans chacun des circuits présents en fonction de tous les courants. Dans le cas linéaire (pas de saturation), cela revient à donner chacune des inductances propres et des inductances mutuelles.

Mise en correspondance avec un modèle à circuit glissant

Dans cette section, nous souhaitons modéliser l'induit (collecteur compris) de la machine par un seul circuit glissant. Pour que ce modèle corresponde au modèle de référence, nous sommes amenés à faire l'hypothèse suivante relative au fonctionnement du collecteur.

Hypothèse d'unicité du circuit d'induit : à chaque instant, l'ensemble des interrupteurs fermés (c'est-à-dire passants) est constitué d'une suite d'interrupteurs consécutifs. Cette hypothèse permet d'assimiler le fonctionnement du collecteur à celui que l'on obtiendrait en considérant un balai unique mobile établissant successivement des contacts avec un ensemble de lames de collecteur, comme indiqué à la figure ci-dessous. Grâce à cette première hypothèse, on espère pouvoir modéliser l'induit par un seul circuit glissant. Si nous appelons 2 h_a la largeur angulaire du balai du collecteur équivalent,

(S03-45) le nombre moyen de branchements en conduction = 1. + h_a / d

Figure S03-22 : collecteur à balai équivalent

Comme indiqué ci-dessus, l'ouverture des interrupteurs ne peut se faire que lorsque le courant qui les tranverse est nul. Il en résulte que la "largeur du balai équivalent" ne peut pas être fixée par la commande des interrupteurs, mais dépend des tensions induites dans les branchements en commutation.

Une conséquence de l'hypothèse d'unicité est que, à un instant donné, seuls le dernier et le premier interrupteur de la suite sont succeptibles de s'ouvrir. De même, seul les interrupteurs qui précède ou suit la suite sont susceptibles de se fermer.

On voit que la donnée de la position r_as et de la largeur h_a du balai suffit à déterminer l'ouverture et la fermeture des différents interrupteurs.

Lors du fonctionnement de la machine, l'angle r_as suit approximativement l'évolution de l'angle q de position du rotor. En régime permanent, il augmente donc indéfiniment. On évite cela, tout en améliorant l'analogie avec la machine DC, en repérant la position du balai par rapport au rotor, c'est-à-dire en utilisant une variable r_a définie par

(S03-46) r_a = q - r_as

Avec l'hypothèse ci-dessus, on peut effectuer une mise en correspondance rigoureuse entre le modèle à circuit filiforme et le modèle à circuit glissant. L'induit est alors représenté par un circuit glissant non linéique (la variable non linéique étant h_a). Nous examinerons cette correspondance à la fin de ce site. Il existe cependant une solution plus simple que nous allons examiner maintenant.

Mise en correspondance avec un modèle à circuit glissant linéique

Dans cette section, nous souhaitons utiliser comme modèle de l'induit un circuit glissant linéique. Les paramètres du modèle peuvent donc dépendre de la position r_a du circuit, qui est associée à la position q. Par contre, la variable h_a doit être éliminée du modèle car elle conduirait à un circuit glissant non linéique (qui ne sera étudié qu'à la fin de ce site). Ceci peut être imposé en faisant l'une des deux hypothèses ci-dessous.

Hypothèse de linéicité forte : à chaque instant, le nombre d'interrupteurs fermés (donc aussi de branchements en conduction) est petit par rapport au nombre total de branchements, et le couplage entre les branchements conducteurs est parfait.

Un corrolaire de l'hypothèse ci-dessus est que le nombre total de branchements doit être grand (à la limite infini). Une autre conséquence est que l'on peut considérer les lames et le balai du collecteur équivalent comme ponctuels.

Notons que l'hypothèse du couplage parfait entre les branchements conducteurs est nécessaire si l'on veut que les caractéristiques du circuit obtenu en les connectant en parallèle soit indépendant du nombre de phases conductrices, c'est-à-dire de h_a, lorsque ce dernier n'est pas constant, même s'il est petit.

Lorsque l'hypothèse ci-dessus est satisfaite, la correspondance avec un modèle à circuit glissant linéique est triviale : il suffit de considérer que l'induit est à chaque instant constitué d'un seul branchement. Les paramètres du modèle à circuit glissant sont alors identiques à ceux du circuit filiforme, où on limite l'induit à la considération d'un seul branchement.

Malheureusement, l'hypothèse ci-dessus n'est plausible que dans le cas d'une machine à grand nombre de branchements. On est donc tenté de l'affaiblir, ce que l'on peut faire en la remplaçant par l'hypothèse ci-dessous.

Hypothèse de linéicité faible : La variable h_a introduite ci-dessus est constante.

Malheureusement, comme la valeur de h_a n'est pas fixée par la commande (le collecteur n'est que partiellement commandé), on ne peut pas imposer a priori cette hypothèse. En pratique, elle ne sera valable que pour certains régimes de fonctionnement. De plus, la correspondance entre les paramètres des deux modèles est plus compliquée : on devrait utiliser un jeu de valeurs de paramètres différent pour chaque mode de fonctionnement auquel on applique le modèle linéique. En pratique, on cherchera un jeu de valeur permettant de rendre compte de façon approximative de l'ensemble des modes de fonctionnement. Ce jeu de paramètres n'est pas déduit directement des paramètres du modèle filiforme ; on l'obtient par comparaison entre les résultats déduits du modèle à circuit glissant et

• soit des résultats expérimentaux
• soit des résultats obtenus à l'aide du modèle à circuits filiformes de référence.

Modèle à circuit glissant linéique

Dans le modèle à circuit glissant linéique, la tension d'induit et le couple s'obtiennent directement par l'application des équations de la théorie

(S03-47)

tandis que le couple est fourni par l'équation (S01-19).

L'étude du fonctionnement du collecteur électronique échappe au modèle à circuit glissant. On peut cependant effectuer certaines vérifications tout en restant dans le cadre de ce modèle. En effet, le fonctionnement du collecteur dépend (entre autres) des tensions des différents branchements. L'expression (S03-47) ne fournit d'indication que sur la tension des branchements conducteurs, mais il est possible de disposer d'une indication sur la tension de tous les branchements, même ceux qui ne sont pas conducteurs. Cela peut se faire sans quitter le cadre des circuits glissants linéiques en considérant un second circuit glissant du même type, soit " b ", de position r_b, s'identifie avec le circuit " a " lorsque r_b = r_a mais qui n'est parcouru par aucun courant, soit

(S03-48a) i_b = 0 .

La théorie des circuits glissants linéiques permet de calculer la tension u_b de ce circuit. Cette tension est bien entendu égale à u_a lorsque les deux circuits coincident.

L'application de la théorie fournit pour u_b une expression analogue à (S03-47), à savoir

(S03-48b)

Dans cette équation, le passage à la limite est nécessaire parce que le courant i_b est supposé nul. Pour pouvoir effectuer ce passage à la limite, il est nécessaire de considérer dans l'expression de w_cm la dépendance selon i_b . On peut éviter cette cela en levant l'indétermination directement sur l'expression (S03-48b), en utilisant

(S03-48c)

ce qui permet d'écrire

(S03-48d)

Lorsque r_b tend vers r_a , la valeur de u_b tend vers celle de u_a (ce qui fournit un moyen indirect de calculer cette dernière). On notera cependant qu'il n'existe pas pour u_a d'expression similaire à (S03-48d) puisque le courant i_a n'est pas nul.

Puisque les hypothèses faites ci-dessus portent sur des aspects qui sont étrangers au modèle à circuit glissant linéique, l'utilisation de ce modèle ne permet pas de vérifier, même a posteriori, qu'elles sont vérifiées. Une validation du modèle doit donc être effectuée pour chaque application. Cette validation peut être effectuée soit expérimentalement, soit par comparaison avec un autre modèle (filiforme ou glissant non linéique) qui tient compte de ces aspects.

Il est cependant possible, sans quitter le cadre du modèle à circuit glissant linéique, de vérifier que certaines conséquences des hypothèses sont remplies. Pour cela, on utilise l'expression de u_b obtenue ci-dessus.

En effet, lorsqu'un branchement devient conducteur, il faut pour qu'il puisse contribuer de façon utilise au circuit d'induit que la dérivée du courant dans ce branchement ait le même signe que le courant d'induit. Cela se produira si la différence entre la tension du branchement qui va devenir conducteur et celle de l'induit a le signe opposé à celui du courant d'induit. Or, supposant dans un premier temps que la vitesse de rotation w est positive, les branchements concernés sont ceux pour lesquels r_b est tout juste inférieur à r_a . En supposant que l'expression de u_b est suffisamment dérivable à gauche du point r_b = r_a , on peut écrire cette condition sous la forme

(S03-49)

Nous avons incorporé dans cette équation la vitesse de rotation afin qu'elle soit aussi valable lorsque la vitesse de rotation est négative (mais cette fois, c'est à droite du point r_b = r_a qu'elle doit être vérifiée).

Par ailleurs, un branchement ne peut cesser d'être conducteur qu'à un instant où son courant est nul. Le branchement qui va quitter le circuit d'induit doit donc être le siège d'un courant décroissant en valeur absolue. Cela se produira si la la différence entre la tension induite dans ce branchement et la tension de l'ensemble de l'induit a le même signe que le courant d'induit. On obtient une information sur la tension induite dans le branchement concerné en examinant la valeur de ub obtenue juste après qu'il ait quitté l'induit, c'est-à-dire, si la vitesse de rotation est positive, pour des valeurs de r_b légèrement supérieures à r_a (bord de quitte du balai équivalent). Cette condition peut à nouveau s'écrire sous la forme (S03-49), mais à vérifier à droite du point r_b = r_a au lieu de l'évaluer à gauche. Si la vitesse de rotation est négative, la condition (S03-49) reste correcte (mais cette fois, c'est à gauche du point r_b = r_a qu'elle doit être vérifiée).

En conclusion, la condition (S03-49) doit dans tous les cas être vérifiée. Elle doit être vérifiée séparément à gauche et à droite du point r_b = r_a .

Rappelons encore que d'autres contraintes peuvent exister pour des raisons techniques, par exemple (S03-43) ou (S03-44) .

Dernière mise à jour le 27-08-2004