Circuits glissants
3. Modélisation à un circuit glissant linéique des machines DC à collecteur électronique

Sur ce site, nous utiliserons à plusieurs reprises un modèle à circuits filiformes idéalisé qui nous servira

• pour introduire +/- intuitivement des modèles à circuit glissant
• pour juger la qualité des résultats obtenus par ces modèles

Ce modèle de référence est celui d'une machine qui comporte un circuit inducteur " f " mobile et un induit fixe formé de n branches filiformes comme représenté à la figure S03-20. La position angulaire de l'inducteur (rotor) sera désignée par la lettre q . Les branchements de l'induit seront numérotés par un indice " i " allant de 1 à n .

Dans ce modèle, nous négligeons les résistances et les inductances sont supposées linéaires (pas de saturation). Nous considérons qu'il s'agit d'une machine à pôles lisses, donc que l'inductance de l'inducteur L_f est constante.

Nous supposons les couplages sinusoïdaux, c'est-à-dire que, moyennant un choix convenable des axes de référence, on peut écrire les mutuelles entre l'inducteur et chaque branchement de l'induit sous la forme

(S03-50) M_{f i} = M_o cos ( q - ( 2 i - 1) d )

et les inductances mutuelles des branchements sous la forme

(S03-51) M_{i j} = M cos [ ( i - j) d ] si i ¹ j

tandis que l'inductance propre d'un branchement vaut

(S03-52) M_{i i} = L ³ M

Dans ces expressions, q est la position mécanique du rotor et d est l'angle défini par (S03-41). On remarquera que l'équation (S03-50) admet les deux cas particuliers

(S03-53) M_{f 1} = M_o cos ( q - d )

et

(S03-54) M_{f n} = M_o cos ( q + d )

C'est la simplicité de ces deux expressions qui nous a conduit à choisir des axes de références conduisant aux expressions ci-dessus. Cette simplicité aura pour effet par la suite d'alléger les développements algébriques.

En l'absence de courant dans les branchements de l'induit, le flux de ces branchements est

(S03-55) y_{o i} = M_fi i_f = M_o i_f cos ( q - ( 2 i - 1) d )

La coénergie magnétique obéit à l'expression

(S03-56a)

soit

(S03-56b)

Supposant le courant i_f constant et la vitesse de rotation w constante, soit

(S03-57) q = w t ,

les "tensions à vide" de chaque branchement s'écrivent

(S03-58)

Ce modèle convient aussi pour modéliser une machine à aimant permanent ; il suffit pour cela d'éliminer i_f en posant

(S03-59)

et

(S03-60) M_o i_f = y_o

On peut aussi utiliser le même modèle pour modéliser une source de tension sinusoïdale en posant

(S03-60) w M_o i_f = w y_o = U_c

de sorte que (S03-58) devient

(S03-61) u_{o i} = - U_c sin [ w t - (2i-1) d ]

La figure ci-dessous indique l'allure de ces tensions

Cette façon de définir la phase d'un ensemble polyphasé de tensions est assez inhabituelle, notamment dans le domaine de l'électronique de puissance. Une fois de plus, cela provient de ce que nous privilégions l'aspect "flux" par rapport à l'aspect "tension".

On dit que le couplage est sinusoïdal parfait si L = M , de sorte que l'on a alors

(S03-62) M_{i j} = M cos [ ( i - j) d ] pour toutes les valeurs de i et j si le couplage est parfait.

L'expression de la coénergie devient alors simplement

(S03-63)

Dernière mise à jour le 18-08-2004