ELEC 2311 : Physique interne des convertisseurs électromécaniques
Semaine 2 : Utilisation d'un modèle "circuit"
Guidance

L'analyse des convertisseurs devient rapidement très complexe lorsque le nombre d'enroulements augmente, surtout s'il s'agit de convertisseurs associés à un dispositif électronique de puissance, même pour une analyse en régime permanent et en supposant le convertisseur à matériaux linéaires. C'est par exemple le cas de l'analyse d'un redresseur polyphasé (voir l'exercice S02-26 ou le site consacré aux redresseurs). La même remarque peut d'ailleurs être faite en ce qui concerne l'étude de la machine DC (voir le LIVRE, pages 191-201), même en faisant de fortes hypothèses simplificatrices.

Dans les deux cas, le résultat de l'analyse en régime est cependant constitué de relations simples (voir le LIVRE, formules (6.20) et (6.21), et les résultats de l'exercice S02-26). Cette remarque permet de supposer que certains "raccourcis" pourraient être possibles.

Si on fait moins d'hypothèses simplificatrices, la situation devient pourtant dans les deux cas très vite inextricable, du moins si l'on persiste à rechercher des solutions complètes.

Face à un problème dont on ne peut plus gérer la complexité, il reste cependant possible de rechercher certaines propriétés "moyennes".

Dans le cas qui nous occupe, on peut simplifier le problème en considérant que les différentes phases du convertisseur ne constituent pas autant de branches de circuit distinctes, mais forment un seul enroulement.

Pour étudier une machine DC de cette façon, on considére que la position de cet enroulement (le "circuit d'induit") est déterminée par la position des balais. En général, les balais sont immobiles, donc aussi le circuit d'induit, malgré le fait que le rotor soit en rotation

Pour étudier un redresseur polyphasé de la même façon, on considère que la position de cet enroulement à un instant particulier est déterminée par le numéro des diodes conductrices à cet instant. En général, la matière de l'induit est immobile mais la position du circuit évolue au rythme des mises en conduction et extinctions des diodes.

Dans les deux exemples ci-dessus, on modélise l'induit par un enroulement qui n'a pas une position fixée par rapport à la matière qui le constitue : l'enroulement peut être mobile même si la position des fils de cuivre qui le constituent est fixe, et vice versa. On parlera donc à son propos de circuit glissant. Par opposition, les circuits dont la position est fixe par rapport à la matière, c'est-à-dire les circuits ordinaires, sont appelés circuits filiformes

Historiquement, la démarche a d'abord été faite, plus ou moins consciemment, à propos du rotor des machines DC. On parle d'ailleurs couramment de "circuit d'induit" dans ce cadre, et on lui attribue des propriétés de circuit, comme une inductance L_a (voir le LIVRE, formule (6.22)). On s'est cependant assez vite rendu compte de ce que la tension du "circuit d'induit" ne peut pas être calculée en utilisant la loi de Faraday, puisqu'il est le siège en régime permanent d'une force électromotrice induite constante. Pour que cette force électromotrice puisse être exprimée par la loi de Faraday, c'est-à-dire comme la dérivée d'un flux magnétique, il faudrait que ce flux augmente indéfiniment, donc tende vers l'infini, alors que le "bon sens" indique que le flux doit rester constant en régime permanent.

La prise en considération de circuits glissants nécessite donc que l'on ajoute à l'expression de la tension un terme supplémentaire. La théorie qui effectue cette généralisation est la "théorie des circuits glissants".

Les avantages pratiques de la théorie des circuits glissants viennent de ce que les équations de la machines y sont écrites en utilisant un nombre de variables plus faible que ce qui est nécessaire pour une description détaillée, et surtout du fait que les variables utilisées se prêtent bien à l'exploitation des symétries du dispositif. Diverses simplifications deviennent alors possibles.

Dès lors, cette théorie se prête bien à la réalisation de programmes très rapides de simulation des transitoires. Elle permet aussi de tenir compte de façon relativement aisée de la saturation magnétique, aussi bien en régime permanent qu'en transitoire.

Comme cette théorie est encore peu connue, et donc peu utilisée, nous nous contenterons ici de citer les équations auxquelles elle conduit.

En ce qui concerne les équations électriques, il suffit d'ajouter à l'expression de la force électromotrice un terme de glissement. On obtient ainsi

(S02-70)

où r est la variable de position du circuit (à ne pas confondre dans ce cas avec q )et où e' est le plus souvent un simple terme ohmique

(S02-71) e' = R i

En introduisant (S02-70) et (S02-71) dans l'équation (S02-37c), on obtient

(S02-72)

On ajoute aussi à l'expression de la force un terme de glissement, de sorte que l'expression (S02-68) est remplacée par

(S02-73)

Dans beaucoup de cas, ces équations se simplifient encore. Par exemple, dans le cas d'une machine DC, la dérivée partielle de la coénergie magnétique par rapport à la position q est nulle (car le rotor ne comporte pas de saillances magnétiques) et les balais sont fixes, donc aussi la dérivée temporelle de r. On obtient alors

(S02-74)

et

(S02-75)

Comme les équations des circuits glissants comportent une variable supplémentaire par rapport aux circuit filiformes, il faut pour obtenir un problème bien défini y adjoindre une équation supplémentaire, qui détermine la valeur de la variable r. Nous appellerons cette équation "équation électromécanique" par opposition à l'équation "électrique" (S02-72) et à l'équation "mécanique" (S02-73).

Afin de "visualiser" la situation, nous schématiserons le modèle à circuit glissant des machines DC classiques et des machines à collecteur électronique comme indiqué à la figure ci-dessous.

Figure S02-20

Sur cette figure, on remarquera que

• L'indice "a" désigne les grandeurs électriques de l'induit ;
• le sens de référence de l'induit est le sens "moteur" (le produit u_a i_a sera donc négatif dans le cas d'une génératrice) ;
• on a utilisé les variables q_e et r_e au lieu de q et r . Ces variables sont définies par
  (S02-76) q_e = p q
  (S02-77) r_e = p r
  où p est le nombre de paires de pôles.

On simplifie ainsi l'interprétation de la figure S02-20. En particulier, les grandeurs qui sont des fonctions périodiques de q ou de r deviennent après remplacement de ces variables par q_e ou r_e des fonctions périodiques de période 2 p exactement.

Dans le cas d'une machine DC classique, l'équation électromécanique n'est autre que

(S02-76) r_e = - p/2

c'est-à-dire que la position des balais est fixée de façon à placer l'induit en quadrature magnétique avec l'inducteur.

Commentaire S02-7 : équation électromécanique dans le cas d'une génératrice à redresseur.

Exercice proposé S02-33 : Montrer que les circuits filiformes sont un cas particulier des circuits glissants

Exercice proposé S02-34 : Analyse d'un modèle à circuit glissant de génératrice à redresseur

Exercice proposé S02-35 : Mise en correspondance entre le modèle détaillé et le modèle à circuit glissant d'une génératrice à redresseur

Comme l'exercice ci-dessus le montre, dans le cas des génératrices à redresseur, le modèle à circuit glissant de l'exercice S02-34 ne correspond exactement au modèle détaillé de l'exercice S02-26 que pour certains modes de fonctionnement (ceux pendant lesquels le nombre moyen de diodes conductrices reste le même à tous les régimes de ce mode). Pour obtenir une correspondance parfaite sur l'ensemble de tous modes de fonctionnements, il faudrait utiliser une seconde généralisation de la théorie classique, à savoir la "théorie des circuits non linéiques".

Le visiteur intéressé par ces développements de la théorie et leur application peut consulter le site qui leur est consacré.

Dernière mise à jour le 21-09-2002