Physique interne des convertisseurs

ELEC 2311 : Physique interne des convertisseurs électromécaniques
Semaines 3 : Correspondance entre modèles "champ" et "circuit"
Guidance

Premier volet d'équations d'évolution
Lien entre grandeurs champ et circuit

Lien entre le flux et le champ magnétique B

On sait que le flux encerclé par une spire fermée est relié au champ magnétique B par l'expression

(S03-37) y = ò ò B . dS

En appliquant le théorème de Stokes, on peut aussi écrire cette équation sous la forme

(S03-37B) y = ò ò B . dS = ò A . dl

qui utilise le potentiel vecteur A (dont nous avons dit à la page précédente qu'il était souvent utilisé dans le logiciel de calcul du champ magnétique).

En utilisant la grandeur A, on peut généraliser la notion de flux au cas d'une ligne qui n'est pas fermée sur elle-même. Il suffit pour cela de définir le flux sur une telle ligne par

(S03-38) y = ò A. dl

Mieux, on peut étendre la définition du flux au cas où les conducteurs, au lieu d'être de simples lignes mathématiques, occupent un certain volume. La généralisation de l'équation (S03-38) à ce cas s'effectue en définissant le flux par

(S03-39) y = òò ò N . A dV = òò ò Nⁱ A_i dV

soit, pour ceux qui préfèrent l'écriture explicite de la sommation,

(S03-39b) y = òò ò N . A dV = òò ò S_j=1,2,3Nⁱ A_i dV

Dans cette équation, N est la densité de conducteurs introduite à la page relative à la correspondance entre les structures préalables.

Cette expression est mathématiquement viable puisque, en contractant la densité de lignes de courant n avec le covecteur A, on obtient une densité scalaire, donc une grandeur sur laquelle une intégrale de volume peut être effectuée.

Cette généralisation est indispensable pour pouvoir déterminer par calcul de champ l’inductance propre d’un circuit car, si on suppose ce circuit sans dimension transversale, le flux calculé est systématiquement infini.

Ficelle symptomatique de "l'état de l'art" : certains logiciels n'ont pas prévu de programme de calcul de l'expression (S03-37), mais ont par contre une routine incorporée qui calcule la quantité

(S03-40)

sous le nom d'énergie (bien que l'expression (S03-40) ne soit égale à l'énergie que dans des cas très particuliers : linéarité des matériaux, absence d'aimantation permanente...). Cette routine, même dans les situations où elle ne fournit pas une valeur admissible de l'énergie, est utilisable pour calculer le flux lorsque la zone où (S03-40) est évaluée ne comporte qu'une branche de circuit : il faut multiplier le résultat fourni par la routine par 2 et le diviser par le courant i dans le circuit considéré. La méthode ne fonctionne que si le courant i est non nul.

Le logiciel Mag-Net effectue ce détour de façon automatique, mais il divise (S03-40) non pas par le courant mais par la valeur absolue de celui-ci. La valeur du flux fournie par ce logiciel doit donc pour retrouver la définition habituelle du flux être multipliée par le signe du courant ! Si on néglige cette correction, le graphe du flux en fonction du courant présente un point anguleux au passage par un courant nul !

Lorsque l'on a effectué un calcul de champ à l'aide de Mag-Net, le logiciel garde en mémoire les répartitions à la fois de la densité de conducteurs et du potentiel vecteur. On pourrait donc espérer pouvoir calculer le flux d'un circuit en appliquant directement la définition (S03-37), ce qui est possible même quand le courant de la branche considérée est nul.

Malheureusement, le logiciel ne garde pas la mémoire de l'appartenance des spires à une branche de circuit ou à une autre. De plus, il considère la densité de conducteur comme un scalaire (et non comme un vecteur) positif. Pour calculer le flux en utilisant la formule (S03-37), il faut donc

isoler une région qui contient les conducteurs aller de la branche choisie et uniquement ces conducteurs,
évaluer l'expression (S03-37) sur cette zone (le logiciel permet de faire des multiplications entre champs et des intégrales, et on peut programmer la suite des opérations nécessaires),
effectuer la différence des deux résultats précédents.

Lien entre la tension et le potentiel V

Classiquement, la tension sur une branche de circuit est la différence de potentiel entre ses deux bornes. Lorsque les bornes ne sont pas ponctuelles, il est logique d'effectuer une moyenne du potentiel avec comme poids div n . Nous allons cette fois tenter de tenir compte de la vitesse du circuit en remplaçant le potentiel V par le potentiel qui serait vu par un observateur se déplaçant à la même vitesse que le circuit. Compte tenu des expressions (S03-34) et (S03-35), on définira donc

(S03-41) u = ò ò ò (div N) (V - v_a . A) dV

La justification finale de cette expression viendra de ce que l'on obtiendra une relation simple entre le flux et la tension.

Lien entre la f.é.m. et le champ électrique E

Nous définissons encore

(S03-42) e = ò ò ò N . (E + v_a x B) dV

On remarque que (S03-42) correspond à l'intégrale du champ électrique (vu par un observateur lié au circuit) le long des lignes de courant.

Vérification de la compatibilité avec la loi de Faraday

Pour que les définitions ci-dessus puissent être acceptées, il faut qu'elles soient en accord avec la loi de Faraday, telle qu'elle a été reformulée pour tenir compte de la tension (voir la guidance de la semaine 2), soit

(S03-43)

Il est effectivement facile de démontrer cette formule à partir des définitions (S03-39)(S03-41)(S03-42) et la formule de définition du potentiel scalaire (S03-24).

Pour rappel, la grandeur e permet de tenir compte de la chute ohmique Ri, mais aussi, comme nous le verrons plus loin, d'un terme de glissement qui apparaît lorsque l'on considère un circuit qui se déplace à une vitesse différente de celle de la matière. C'est aussi dans ce terme qu'apparaîtraient l'effet d'un gradient de composition, de concentration ou de température, mais ces effets ne font pas partie de la matière des cours obligatoires d'électrotechnique.

Il serait logique de parler de " champ électromoteur " à propos du champ

(S03-45) E + v_a x B ou E + v x B

mais ce terme est aussi galvaudé que celui de " force électromotrice ".

Exercice S03-23 : démontrer l'équation (S03-44). Quelles sont les hypothèses utilisées lors de la démonstration ? Indication : effectuer les intégrales de volume par partie et supposer nulles les intégrales prises sur une surface qui tend vers l'infini.

Exercice S03-24 : montrer que l’ambiguïté dont est affligée la définition de la vitesse v_a du circuit (cfr. page relative à la structure préalable) n'a pas d'influence quant au résultat des intégrales (S03-41) (S03-42).

Question ouverte : comment définir u, y et e si l'évolution du circuit ne peut pas être caractérisée uniquement par un champ de vitesse ?

Exercice proposé S03-25 : tension, f.é.m. et flux dans une roue de Barlow

Exercice proposé S03-29 : effet du champ présent dans la fenêtre magnétique d'un transformateur.


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Dernière mise à jour le 27-09-2002