ELEC 2311 : Physique interne des convertisseurs
électromécaniques
Semaines 3 : Correspondance entre modèles "champ" et "circuit"
Guidance
Second volet d'équations
d'évolution :
équations inhomogènes de Maxwell
Equations
Les équations inhomogènes de Maxwell s'écrivent
(S03-51) div D = r
(S03-52) rot H - ¶ D/ ¶t = J
Commentaire mathématique : pour que les opérateurs divergence et rotationnel puissent être définis sans référence à une structure additionnelle (métrique ou autre), il faut que D une densité vectorielle et H un covecteur. Alors, J est aussi une densité vectorielle et r une densité scalaire.
On notera que div H et rot D ou rot J n'ont pas de signification naturelle.
Exercice proposé S03-32 : de la tolérance........
De (S03.51)(S03.52), on déduit la loi de conservation de la charge
(S03-53) div J + ¶ r / ¶t = 0
On utilisera souvent par la suite la grandeur
(S03-54) Jtot = J + ¶t D
qui présente l’avantage d’avoir une divergence nulle
(S03-56)div Jtot = 0
et d’être égale au rotationnel de H
(S03-57) rot H = Jtot
Exercice S03-34 : démontrer (S03-56) et (S03-57)
En appliquant le théorème de Stokes à (S03-57), on obtient une forme générale de la loi d’Ampère :
(S03-58)ñ H dl = ò ò Jtot dS = I
En électrotechnique, on se trouve souvent dans des situations où le terme ¶ t D qui figure dans (S03-52) et (S03-54) est négligeable. Il en est alors de même du terme ¶ r / ¶ t dans (S03-53). Cette situation est dite "quasistatique magnétique". Dans une situation quasistatique magnétique, il n'y a pas lieu de faire de distinction entre les densités de courant J et Jtot .
Formalisme
Les équations (S03-51)(S03-52)(S03-53) se schématisent dans la suite exacte de la figure ci-dessous
| div , ¶t | ||
| rot, ¶t | ||
Figure S03-15.
La suite représentée à la figure S03-15 est une suite exacte : d’une part, si H et D vérifient les équations (S03-51)(S03-52), J et r vérifient automatiquement (S03-53). D’autre part, si une densité vectorielle J et une densité scalaire r vérifient la loi de conservation (S03-53), il existe une densité vectorielle D et un covecteur H tels que (S03-51) et (S03-52) soient vérifiés.
Propriétés d'invariance
Le fait d'avoir défini la nature mathématique des grandeurs D, H, J et r détermine la façon dont leurs composantes se transforment lors d'un changement de référentiel. Comme il s'agit d'une formulation 3D, cela ne suffit cependant pas pour respecter le principe d'invariance : il faudrait encore préciser la façon dont ces grandeurs se transforment lors d'un changement de l'échelle des temps (nous ne le ferons pas) et, surtout, lors d'un changement d'espace (transformation de Galilée, voir annexe 3).
Pour que les équations (S03-51)(S03-52) gardent la même forme après transformation, il faut que les champs dans l'espace du premier observateur correspondent aux champs dans l'espace du second observateur par les relations ci-dessous (qui ne sont pas des égalités mathématiques).
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Lors d'une transformation de Galilée : (S03-59) D = D' (S03-60) H = H' + v x D' (S03-61) r = r' (S03-62) J = J' + v r' |
La façon la plus simple d'obtenir les lois de transformation (S03-59)(S03-60)(S03-61)(S03-62) passe par un raisonnement dans l'espace à 4 dimensions.
En appliquant à la grandeur (S03-62) le changement de référentiel de Galilée décrit à l'annexe 3, dans le respect de la loi de transformation des tenseurs de poids 1, on obtient des expressions qui correspondent à (S03-59) (S03-60). De même, en appliquant à la grandeur (S03-63) le changement de référentiel de Galilée, dans le respect de la loi de transformation des vecteurs de poids 1, on obtient des expressions qui correspondent à (S03-61)(S03-62).
Exercice S03.36 : effectuer les calculs décrits ci-dessus.
La densité scalaire H . D reste inchangée lors d'une transformation de Galilée. On peut donc dire que
(S03-63) H . D est un invariant
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Dernière mise à jour le 27-09-2002
