ELEC 2311 : Physique interne des convertisseurs électromécaniques
Semaines 6 : Méthodes de calcul des champs (première partie)
Guidance

La classification des solutions approchées faite à la page précédente était un peu brutale, en ce sens qu'elle considérait qu'une équation est ou n'est pas vérifiée. Nous allons sur cette page apporter des nuances à cette dichotomie.

Dans le cas des solutions approchées sophistiquées, les contraintes intuitives que l'on impose à la solution approchée ne sont pas suffisantes pour la déterminer complètement. La solution approchée comporte donc encore un certain nombre de degrés de libertés (c'est-à-dire de paramètres). La méthode de calcul doit donc comporter une procédure pour déterminer ces paramètres résiduels.

En fait, une solution approchée "sophistiquée" peut tenir compte de certaines équations sans pour autant les respecter de façon exacte. On distingue une vérification au sens fort, une vérification au sens faible et une vérification fonctionnelle.

On dit qu'une solution approchée vérifie une équation au sens fort si elle satisfait cette équation de façon exacte. Il est clair que les solutions approchées ne vérifient pas au sens fort toutes les équations du système (sinon, ce seraient des solutions exactes !).

Les solutions approchées peuvent aussi ne vérifier au sens fort qu'un seul des volets d'équations d'évolution et les relations constitutives, mais comporter des degrés de liberté qui sont fixés de façon à tenir compte de l'autre volet d'équations d'évolutions. La théorie relative à chacune de ces méthodes est différente. Elle repose le plus souvent sur la considération d'un principe variationnel (un exemple de principe variationnel a été présenté en semaine 4).

On dit alors que l'autre volet d'équations d'évolution n'est alors vérifié qu'au sens faible.

Pour fixer les idées, considérons un problème de magnétostatique dans lequel la densité de courant J est imposée a priori.

Nous allons imposer à la solution approchée H(x, y, z) de vérifier au sens fort le premier volet d'équations d'évolution, soit

(S06-91) rot H = J

Faisons maintenant référence à un principe variationnel, mais en limitant les variations dH considérées aux combinaisons linéaires d'un ensemble de fonctions nommées les "fonctions de test", soit { H_a (x, y, z) }, où l'indice a ne prend qu'un nombre fini de valeurs. Ces fonctions de test sont choisies de façon à vérifier

(S06-92) rot H_a = 0

De cette façon, en ajoutant à la solution approchée une combinaison linéaire de fonctions de test, on obtient une fonction qui vérifie encore l'équation (S06-91).

En dérivant la densité de Lagrangien, c'est-à-dire la densité de coénergie dans le cas considéré, selon chaque H_a , on obtient un ensemble d'équations

(S06-93) òòò B . H_a = 0

où B est la fonction obtenue en appliquant à H les relations constitutives

Pour obtenir un système d'équation acceptant une et une seule solution, on aura bien entendu pris soin de choisir des fonctions H_a en nombre tout juste égal à celui des degrés de liberté résiduels de la solution approchée H(x, y, z).

On dit que le second groupe d'équations d'évolution, à savoir

(S06-94) div B = 0

est vérifié au sens faible parce que, si l'ensemble des fonctions de test devenait dense, c'est-à-dire suffisamment grand pour pouvoir approcher d'aussi près que l'on veut n'importe quelle fonction (ce qui impliquerait que cet ensemble devienne infini), et si la solution approchée comportait suffisamment de degrés de liberté pour approcher n'importe quelle fonction, cette solution approchée tendrait vers la solution exacte, donc satisferait parfaitement le second volet d'équations d'évolution (car le principe variationnel auquel on a fait référence s'appliquerait alors pleinement).

En pratique, cette méthode est surtout utilisée en considérant que les relations constitutives sont linéaires, et que la solution approchée H(x, y, z) est une combinaison linéaire d'un ensemble de fonctions de base {H'_a (x, y, z)} ; la solution du problème se ramène à la résolution d'un système d'équations linéaires, ce qui peut se faire de façon systématique en utilisant les outils de l'analyse numérique.

On remarquera que, contrairement à ce que laissent souvent entendre les utilisateurs de cette méthode (allez savoir pourquoi), le principe variationnel n'est pas utilisé dans le calcul proprement dit : il est seulement utilisé pour la mise au point de la méthode de calcul !

Exercice proposé S06-80 : application à l'analyse temporelle d'un circuit non linéaire

La formulation fonctionnelle consiste à utiliser directement un principe variationnel pour effectuer le calcul de champ. On peut ainsi remplacer un problème de calcul de champ par un problème de recherche d'un extremum (de l'énergie ou de la coénergie par exemple). Ce procédé n'est que rarement utilisé tel quel parce que le problème ainsi obtenu conduit souvent à des calculs plus laborieux que le problème d'une vérification au sens faible. Il présente cependant l'intérêt d'offrir un contrôle de la précision obtenue sur la solution approchée puisque l'on peut, au fur et à mesure que l'on augmente le nombre de degrés de liberté, voir converger le Lagrangien vers une valeur limite.

La vérification fonctionnelle est donc, en pratique, combinée avec la méthode de vérification d'équation au sens faible qui y correspond, et ne fait que contrôler la convergence de la solution approchée.

Contrôler le fait que la solution approchée converge est évidemment une bonne chose, mais ne garantit pas que la convergence se fasse effectivement vers la solution réelle.

Pour obtenir une telle certitude, il faut utiliser un double principe variationnel, l'un conduisant à une valeur par excès du Lagrangien et l'autre à une valeur par défaut. Lorsque les deux valeurs tendent vers une limite commune, on peut être assuré que cette limite commune est bien la solution exacte, et on peut donc chiffrer l'écart entre la solution approchée obtenue et la solution exacte. Un tel calcul n'est pas souvent effectué parce qu'il revient à effectuer deux fois le calcul des champs : un effort que la plupart des utilisateurs trouvent excessif.

Une façon d'unifier ces deux calculs de champ en un seul consiste à considérer que la solution approchée est fournie par un couple de fonctions, soit H(x, y, z) et B(x, y, z), qui vérifient chacune le groupe d'équations d'évolution correspondant au sens fort. Bien entendu, puisqu'il s'agit d'une solution approchée, les relations constitutives ne seront pas vérifiées.

L'écart entre la solution approchée et la solution réelle peut être chiffré par le Ligurien, c'est-à-dire une fonctionnelle définie comme l'intégrale sur tout l'espace de

(S06-95) H.B - W_cm (H) - W_m(B)

où l'on reconnaît la densité de coénergie exprimée en fonction de H et la densité d'énergie exprimée en fonction de B .

Pour toute relation constitutive acceptable, le Ligurien est strictement positif. Il est nul si et seulement si la relation constitutive est vérifiée de façon exacte.

Contrôler la valeur du Ligurien est donc la meilleure façon connue de vérifier la convergence d'une solution approchée vers la solution exacte.

Exercice S06-90 : vérifier que le Ligurien est positif pour toute solution approchée, et nul pour la solution exacte.

Dernière mise à jour le 16-10-2002