FSAC 1430 Physique T4 : électricité et magnétisme
Semaines 2 : Électrostatique (seconde partie)
Guidance

On a vu (exercices S01-4n à S01-4u) que le champ peut se calculer aisément dans les structures à symétrie géométrique forte, en utilisant la loi de Gauss. Une fois le champ connu, il est facile d'en déduire le champ en chaque point en utilisant la relation (S02-12). Le champ peut ensuite être relié au potentiel V comme nous l'avons fait aux exercices S01-5 à S01-5b.

On notera que, pour que ce mode de calcul soit correct, il ne suffit pas que les charges soient réparties de façon symétrique : il faut que la répartition de diélectrique respecte aussi la même symétrie.

Exercice proposé S02-01F : champs associé à une surface plane chargée très longue dans un milieu linéaire uniforme.

Exercice proposé S02-01G : champs associé à une ligne droite chargée très longue dans un milieu linéaire uniforme.

Exercice proposé S02-01H : champs associé à une surface cylindrique chargée très longue dans un milieu linéaire uniforme.

Exercice proposé S02-02 : champs associé à une charge ponctuelle dans un milieu linéaire uniforme.

La solution de cet exercice n'est autre que le champ Coulombien

(S02-38)

où est un vecteur unitaire dirigé de la particule q vers l'endroit où le champ est exprimé.

En combinant cette expression avec celle de la force exercée sur une particule test de charge q' par le champ électrique, on obtient

(S02-39)

où est un vecteur unitaire dirigé de la particule q vers la particule test q'.

La formule(S02-39)peut encore écrire sous la forme

(S02-40)

en posant

(S02-41)

On a ainsi "démontré" la loi de Coulomb.

Exercice proposé S02-06 : champs associé à une surface sphérique chargée dans un milieu linéaire uniforme.

Énergie d'un système de charges ponctuelles dans un milieu linéaire uniforme

On a vu à l'occasion de l'exercice (S02-2) que l'énergie électrique d'une charge ponctuelle est infinie. En principe, pour parler de l'énergie des particules chargées, on ne peut donc pas considérer ces particules comme des charges ponctuelles, mais il faudrait leur attribuer une structure interne, par exemple celle de l'exercice S02-6.

Pour contourner cette difficulté, on a l'habitude en physique, lorsque l'on considère un ensemble de particules, de faire une distinction entre l'énergie propre de ces particules (c'est-à-dire l'énergie qu'elles auraient si elles se trouvaient très loin l'une de l'autre) et l'énergie d'interaction (c'est-à-dire l'énergie qui serait nécessaire pour assembler ces particules si elles étaient au départ très éloignées l'une de l'autre). Du moment que les distances entre les particules restent grandes par rapport à leurs dimensions internes, l'énergie d'interaction peut s'obtenir en considérant les particules comme ponctuelles, et en additionnant les travaux q_i V'_i nécessaire pour placer chaque particule à sa place. Dans le produit q_i V'_i , V' est le potentiel, à l'endroit destiné à la particule i, dû aux particules déjà placées à ce moment .

On obtient donc

(S02-42) w_p = S_i q_i V'_i en faisant bien attention à la définition de V'_i

Dans l'expression (S02-..), on peut décomposer les V'_i en une somme des potentiels dus aux particules déjà en place, et obtenir ainsi

(S02-43) w_p = S_{j inf. à i} q_i V_ij

où V_ij est le potentiel produit par la particule j à l'endroit de la particule i .

Pour ne pas être obligé de tenir compte de l'ordre d'assemblage du système, il est souvent plus simple de remplacer les expressions (S02-42) ou (S02-43) par

(S02-44) w_p = S_i¹j q_i V_ij

où le facteur (1/2) vient de ce que chaque paire de particules a été considérée deux fois. Finalement, on peut écrire

(S02-45) w_p = (1/2) S_i q_i V_i

où V_i est le potentiel à l'endroit de la particule i dû à toutes les autres particules .

Lorsque l'on considère des répartitions continues de charges, la somme de la formule (S02-45) devient une intégrale. Dans le cas d'une répartition sous forme d'une densité en volume r, l'énergie propre des éléments de charge n'apporte pas de contributions à l'intégrale, de sorte que l'on retrouve pour l'énergie électrique totale l'intégrale de l'expression (S02-37).

Exercice proposé S02-06b : énergie d'un ensemble de 4 protons disposés en carré.

Capacité et énergie des condensateurs à forte symétrie

Exercice proposé S02-11 : champs et énergie accumulée dans un câble coaxial.

Exercice proposé S02-13 : étude d'un condensateur sphérique.

Exercice proposé S02-14 : calcul de la capacité d'une sphère isolée.

Dans tous les exemples ci-dessus, on a vérifié que l'on obtient la valeur correcte de l'énergie en utilisant les expressions de la densité d'énergie proposées à la page précédente.

Dernière mise à jour le 17-09-2003