FSAC 1430 Physique T4 : électricité et magnétisme
Semaines 2 : Électrostatique (seconde partie)
Guidance

L'énergie w accumulée dans une capacité peut s'obtenir en intégrant le travail nécessaire pour y introduire un élément de charge, soit

(S02-30) dw = u dq

On obtient ainsi, en utilisant (S02-29)

(S02-31)

En utilisant à nouveau (S02-29), on peut exprimer l'énergie en fonction de la tension u de la capacité. On obtient

(S02-32)

conformément à ce qui a été vu en T2 .

Il est parfois utile d'exprimer l'énergie sous une forme intermédiaire entre (S02-31) et (S02-32), à savoir

(S02-32b) w = (1/2) q u

qui se déduit des précédentes en utilisant à nouveau (S02-29)

On peut se demander si l'énergie d'un dispositif peut être localisée, c'est-à-dire si l'énergie totale w d'un système peut s'écrire comme l'intégrale de volume d'une densité d'énergie W :

(S02-33)

Cette supposition est raisonnable en ce qui concerne l'énergie électrique puisque nous avons vu que les champs et sont régis par les équations locales (S02-0) et (S02-1), ainsi que par la relation constitutive, également locale, (S02-7) .

Pour trouver l'expression de cette densité d'énergie dans le cas d'un diélectrique linéaire, il est commode de se référer à l'étude du champ dans un condensateur plan faite comme solution de l'exercice S02-1.

En effet, puisque le champ est uniforme dans cette structure, on peut supposer qu'il en est de même de la densité d'énergie. L'intégrale de volume (S02-33) se réduit alors à

(S02-33b) w = W V

où le volume V du diélectrique vaut simplement

(S02-33c) V = S d .

Si nous remplaçons dans (S02-31) C par son expression (S02-29b) et q par son expression tirée de (S01-23m) , soit

(S02-33d) q = D_z S ,

(S02-34) dans les milieux linéaires

Des exercices proposés plus loin (à la page relatives aux structures à forte symétrie) seront l'occasion de constater sur des cas particuliers que l'on peut calculer l'énergie de condensateurs de formes diverses en utilisant l'expression (S02-34), ce qui confortera cette dernière.

En utilisant (S02-12), on peut écrire la densité d'énergie en fonction du champ électrique E

(S02-35) dans les diélectriques linéaires sans rémanence

Il est parfois utile d'écrire la densité d'énergie sous une forme intermédiaire entre (S02-34) et (S02-35) , soit

(S02-36) W = (1/2) E.D

qui se déduit des précédentes en utilisant à nouveau (S02-12)

Exercice proposé S02-1b : modification de la distance entre les électrodes d'un condensateur plan chargé.

Exercice proposé S02-1c : introduction d'un diélectrique dans un condensateur plan chargé.

Autre expression de l'énergie en fonction de grandeurs locales

L'expression (S02-33) avec (S02-34)(S02-35)ou (S02-36) n'est pas la seule façon de calculer l'énergie w à partir de grandeurs locales. En appliquant les lois de l'électrostatique et une transformation mathématique de l'intégrale (S02-33) avec (S02-36), on montre que w peut encore s'écrire comme l'intégrale de volume d'une densité

(S02-37) W_P = (1/2) r V ,

mais à condition que tout le système ne comporte que des milieux linéaires (comme le vide) et que les champs et le potentiel tendent vers zéro assez vite à grande distance (ou soient nuls aux limites du système).

Commentaire S02-6 : pour ceux qui souhaitent un commentaire sur la localisation de l'énergie.

Dernière mise à jour le 10-06-2001