Exemple de solution à l'exercice proposé S02-1b : modification de la distance entre les électrodes d'un condensateur plan chargé

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La tension du condensateur va diminuer lors du rapprochement des plaques.

En effet, le système étant isolé et le matériau introduit n'étant pas conducteur, la charge sur les plaques du condensateur ne peut avoir changé. Puisque la charge ne varie pas, si on admet que les charges q et -q sont localisées sur les surfaces en regard des électrodes (voir la solution de l'exercice S02-1, la loi de Gauss (S02-1) nous apprend que le champ , qui est alors relié à la charge par l'équation (S02-1) ne peut pas varier non plus.

Puisque le champ électrique est relié au champ par la relation (S02-12) , qui reste inchangée, on peut dire que le champélectrique reste lui aussi inchangé

Or, la tension u est reliée au champ électrique par l'équation (S01-0), de sorte que, à champ constant, la tension u proportionnelle à la distance d. La tension u se trouve donc multipliée par a, ce qui signifie qu'elle diminue, lors du rapprochement des plaques.

En utilisant l'expression (S02-36) de l'énergie d'un condensateur, puisque q reste constant et que la tension u est multipliée par a_r, on constate que l'énergie du condensateur se trouve, elle aussi, multipliée par a_r. Le condensateur perd donc de l'énergie. Or, cette énergie n'a pas pu être renvoyée à l'alimentation puisque celle-ci est déconnectée. Il faut donc que, lors du mouvement du diélectrique, le condensateur ait fourni un travail mécanique. Pour cela, il faut que le champ produise une force d'attraction entre les plaques. En effet, dans ce cas, cette force fourni au systéme mécanique un travail, puisque le déplacement se fait dans le sens de la force.

Lorsque l'on ramène les plaques à leur position de départ, la charge ne varie toujours pas. On retrouve donc finalement la situation de départ, et donc la tension de départ et l'énergie de départ. Cette augmentation de l'énergie électrique s'explique par l'apport d'une énergie mécanique, celle qu'il faut dépenser pour déplacer les plaques dans le sens opposé à la force exercée par le champ.

Indication pour la variante

Si le condensateur reste connecté à la source de tension pendant les manipulations, sa tension u reste constante.

La charge du condensateur va augmenter lors de l'introduction du diélectrique.

En effet, la tension u est reliée au champ électrique par l'équation (S01-0), de sorte que le champ va être divisé par a, donc augmenter, lorsque l'on rapproche les plaques.

Comme la relation (S02-12) , qui relie le champ électrique au champ , reste inchang´e, on peut dire que le champ est lui aussi divisé par a

Or la loi de Gauss (S02-1) nous apprend qu'au champ doivent étre associées des charges q et -q situées sur les faces en regard des électrodes. Ces charges sont donc, elles aussi, divisées par a_r

Si on admet que ces charges q et -q sont les seules que portent les électrodes (voir la solution de l'exercice S02-1), on peut dire que q est la charge du condensateur, qui est donc divisée par a_r, donc augmente.

En utilisant l'expression (S02-36) de l'énergie d'un condensateur, puisque u reste constante et que la charge q est divisée par a, on constate que l'énergie du condensateur se trouve, elle aussi, divisée par a. L'énergie stockée dans le condensateur augmente donc. Or, ce supplément d'énergie n'a pas pu être reçu du système mécanique puisque, comme on l'a vu dans la première partie de la solution, la force exercée par le champ sur les plaques tend à rapprocher celles-ci. Lors du rapprochement des plaques, le condensateur fournit donc un travail mécanique, bien que sa propre énergie augmente.

L'explication de ce paradoxe est que l'alimentation électrique, qui est cette fois restée raccordée, fourni au condensateur un supplément de charge, donc aussi une énergie.

Le calcul détaillé montrera que cette énergie sert pour moitié à augmenter l'énergie du condensateur, et pour moitié à fournir un travail mécanique.

Lorsque l'on ramène les plaques dans leur position de départ, donc en les écartant, la force exercé par le champ sur les plaques a encore tendance à tirer celles-ci l'une vers l'autre. Un travail m´canique est donc alors fourni au condensateur. Malgré cela, l'´nergie du condensateur diminue. L'explication est que le condensateur renvoie pendant l'opération une partie de sa charge à l'alimentation, donc lui renvoie une énergie qui vient pour moitié de la diminution de l'énergie stockée dans le condensateur, et pour moitié du travail mécanique fourni au condensateur.

Dernière mise à jour le 17-09-2003