Exemple de solution à l'exercice proposé S02-1c : introduction d'un diélectrique dans un condensateur plan

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La tension du condensateur va diminuer lors de l'introduction du diélectrique.

En effet, le système étant isolé et le matériau introduit n'étant pas conducteur, la charge sur les plaques du condensateur ne peut avoir changé. Puisque la charge ne varie pas, si on admet que les charges q et -q sont localisées sur les surfaces en regard des électrodes (voir la solution de l'exercice S02-1, la loi de Gauss (S02-1) nous apprend que le champ , qui est alors relié à la charge par l'équation (S02-1) ne peut pas varier non plus.

Par contre, la relation (S02-12) , qui relie le champ électrique au champ , est modifiée puisque la permittivité passe de la valeur eo à une valeur plus grande e = er eo

Le champ électrique se trouve donc divisé par er lors de l'introduction du diélectrique.

Or, la tension u est reliée au champ électrique par l'équation (S01-0), de sorte que la tension u est, elle aussi, divisée par er lors de l'introduction du diélectrique.

En utilisant l'expression (S02-36) de l'énergie d'un condensateur, puisque q reste constant et que la tension u est divisée par er, on constate que l'énergie du condensateur se trouve, elle aussi, divisée par er. Le condensateur perd donc de l'énergie. Or, cette énergie n'a pas pu être renvoyée à l'alimentation puisque celle-ci est déconnectée. Il faut donc que, lors du mouvement du diélectrique, le condensateur ait fourni un travail mécanique. Pour cela, il faut que le champ produise sur le di´lectrique une force qui tend à tirer le diélectrique dans le condensateur. En effet, dans ce cas, cette force fourni au systéme mécanique un travail, puisque le déplacement se fait dans le sens de la force.

Lorsque l'on extrait le diélectrique, la charge ne varie toujours pas. On retrouve donc après retrait complet la situation de départ, et donc la tension de départ et l'énergie de départ. Cette augmentation de l'énergie électrique s'explique par l'apport d'une énergie mécanique, celle qu'il faut dépenser pour déplacer le diélectrique dans le sens opposé à la force exercée par le champ.

Indication pour la variante

Si le condensateur reste connecté à la source de tension pendant les manipulations, sa tension u reste constante.

La charge du condensateur va augmenter lors de l'introduction du diélectrique.

En effet, la tension u est reliée au champ électrique par l'équation (S01-0), de sorte que le champ restera inchangé pendant l'introduction du diélectrique.

Par contre, la relation (S02-12) , qui relie le champ électrique au champ , est modifiée puisque la permittivité passe de la valeur eo à une valeur plus grande e = er eo

Le champ de déplacement électrique se trouve donc multiplié par er lors de l'introduction du diélectrique.

Or la loi de Gauss (S02-1) nous apprend qu'au champ doivent étre associées des charges q et -q situées sur les faces en regard des électrodes. Ces charges sont donc, elles aussi, multipliées par er

Si on admet que ces charges q et -q sont les seules que portent les électrodes (voir la solution de l'exercice S02-1), on peut dire que q est la charge du condensateur, qui est donc multipliée par er.

En utilisant l'expression (S02-36) de l'énergie d'un condensateur, puisque u reste constante et que la charge q est multipliée par er, on constate que l'énergie du condensateur se trouve, elle aussi, multipliée par er. L'énergie stockée dans le condensateur augmente donc. Or, ce supplément d'énergie n'a pas pu être reçu du système mécanique puisque, comme on l'a vu dans la première partie de la solution, la force exercée par le champ sur le diélectrique tend à tirer celui-ci dans le condensateur. Lors de l'introduction du diélectrique, le condensateur fourni donc un travail mécanique, bien que sa propre énergie augmente.

L'explication de ce paradoxe est que l'alimentation électrique, qui est cette fois restée raccordée, fourni au condensateur un supplément de charge, donc aussi une énergie.

Le calcul détaillé montrera que cette énergie sert pour moitié à augmenter l'énergie du condensateur, et pour moitié à fournir un travail mécanique.

Lorsque l'on retire le diélectrique, la force exercé par le champ sur le diélectrique a encore tendance à tirer le diélectrique vers l'intérieur du condensateur. Un travail m´canique est donc alors fourni au condensateur. Malgré cela, l'´nergie du condensateur diminue. L'explication est que le condensateur renvoie pendant l'opération une partie de sa charge à l'alimentation, donc lui renvoie une énergie qui vient pour moitié de la diminution de l'énergie stockée dans le condensateur, et pour moitié du travail mécanique fourni au condensateur.

 

Dernière mise à jour le 17-09-2003