Glissant

Circuits glissants
2. Modélisation dynamique des machines et actionneurs DC à balais

Modèle linéaire (sans saturation) de la machine DC

Si on admet que tous les matériaux constituant une machine ont une caractéristique magnétique linéaire, on peut utiliser un modèle dans lequel les flux sont des fonctions linéaires des courants. Nous dirons qu'il s'agit d'un modèle linéaire (dans ce contexte, le mot "linéaire" ne se rapporte donc pas à la géométrie de la machine, mais à la façon de la modéliser).

Dans le cas linéaire, la co-énergie magnétique est

(S02-3)

Les équations électriques (S02-1) deviennent alors

(S02-4a)

(S02-4b)

Le couple électromagnétique se calcule de façon immédiate en introduisant dans son expression générale (S01-19) l'expression (S02-3) de la coénergie. Puisque celle-ci ne dépend pas de la position du rotor, on obtient

(S02-5)

Remarquons que la machine à courant continu peut développer une f.é.m. de glissement, même avec un courant d'excitation nul i_f = 0 . Pour cela, les balais doivent être décalés par rapport à la ligne neutre, de sorte que le coefficient d'induction L_a cesse d'être minimum et sa dérivée par rapport à r cesse d'être nulle.

L'équation (S02-4b) devient alors

(S02-6)

Il est clair que les circuits d'induit et d'inducteur sont en quadrature si et seulement si M(r) est nul.

Pour la position normale des balais (quadrature), nous supposerons en outre que le coefficient L_a est minimal.

Le choix d'une valeur de r négative comme position normale des balais permet d'avoir un couplage qui est une fonction croissante de r pour cette position et qui est maximum pour r = 0 .

Alors, les équations électriques (S02-4) deviennent

(S02-7a)

(S02-7b)

Ces équations ont été établies par E. Gudefin.

Par ailleurs, compte tenu de l'hypothèse ci-dessus selon laquelle L_a est alors minimal (donc de dérivée nulle),

(S02-08)

On notera que ces équations constituent un modèle électrique dynamique de la machine, puisqu'elles permettent de tenir compte d'une variation des courants dans le temps. En régime, ces dérivées sont nulles, de sorte que le modèle statique s'obtient simplement en supprimant les termes en di_a/dt ou di_f/dt dans (S02-4) ou (S02-7). Etablir d'abord ce modèle statique n'aurait guère présenté d'intérêt didactique puisque la théorie fournit directement le modèle dynamique.

Dans le cas d'une machine avec excitation série, l'inducteur et l'induit sont mis en série.

Donc, la tension totale est u = u_a + u_f et le courant est i = i_f = i_a , la machine étant décrite par l'équation électrique unique

(S02-9)

où

(S02-10) L = L_f + 2M + L_a

est le coefficient d'auto-induction du circuit total.

L'équation (S02-9) est simplement l'équation d'un circuit glissant (S02-2) pour un circuit unique, avec la co-énergie

(S02-11)

L'équation (S02-9), pour un circuit glissant unique, a été établie par Blondel. Elle est analogue à (S02-6) mais la f.é.m. dans l'équation (S02-9) est induite par le courant dans le bobinage statorique, alors que dans l'équation (S02-6) elle est associée au courant dans le rotor et à la saillance magnétique du stator.

Insistons sur le fait que les équations de cette page ne sont valables que si on peut utiliser un modèle qui néglige la saturation magnétique... une possibilité que l'on aurait tord de considérer comme acquise dans tous les cas.


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Dernière mise à jour le 15-07-2004