Si la position des balais est telle que l'induit est en quadrature avec l'inducteur (balais sur la "ligne neutre"), le circuit "d " est aligné avec l'inducteur. Il est alors raisonnable de supposer que les circuits " d " et " f " (inducteur) sont liés par les équations

(S02-20)

(S02-21)

La démarche effectuée en posant (S02-20)(S02-21) est en effet analogue à celle que l'on effectue en établissant le circuit équivalent en T d'un transformateur.

Dans ces relations, l_f est une inductance de fuite que nous supposerons linéaire et

(S02-22)

est un "rapport de transformation" qui dépend non seulement des nombres de spires de l'induit et de l'inducteur, mais encore de leur répartition.

Ainsi donc, au prix de l'introduction de deux paramètres supplémentaires, la modélisation d'une machine DC se réduit à celle de deux circuits, à savoir " d " et " a ". Plus précisément, cette modélisation consiste à exprimer une relation entre les flux y_d et y_a et les courants i_d et i_a . Or, si les balais sont dans leur position normale ("ligne neutre"), les circuits " d " et " a " sont en quadrature, ce qui permet d'utiliser les techniques développées dans l'annexe consacrée à la saturation croisée.

Dans le cadre des machines DC , l'effet de la saturation croisée porte le nom de "réaction d'induit", que nous utiliserons par la suite.

Les équations du régime permanent s'obtiennent en annulant les dérivées temporelles des courants dans les équations (S02-16) (S02-17) (S02-18) . On obtient ainsi :

(S02-24)

(S02-25)

et

(S02-26) C_em = y_d i_a

On voit que le seul paramètre à déterminer dans le modèle statique est le flux y_d .

Compte tenu de la relation (S02-21), on peut exprimer ce flux en fonction du courant i_f plutôt qu'en fonction du courant i_d . Il est en effet facile par un essai à vide ( i_a nul) de déterminer le flux y_do en fonction du courant i_f . Pour passer de la caractéristique y_do (i_f) à la caractéristique y_do (i_d), il faudrait connaître le rapport de transformation , mais cela n'est pas nécessaire pour établir le modèle statique, du moins si on se limite au premier terme du développement en série de la réaction d'induit. En effet, compte tenu de ce qui a été vu dans l'annexe relative à la saturation croisée, on peut alors écrire

(S02-26)

Ainsi, si l'on considère le coefficient

(S02-27)

comme un tout, le modèle statique ne fait intervenir comme courants que i_f et i_a .

En particulier, la tension d'induit peut s'écrire, en introduisant (S02-26) dans (S02-24),

(S02-28)

Lors d'un fonctionnement en génératrice en charge (i_a ¹ 0), si l'on considère des valeurs fixées de i_f et , on voit que l'expression de la tension d'induit en fonction de i_a est une parabole. Cette parabole est représentée à la figure S02-3, où l'on a tenu compte du fait que le courant i_a est négatif en portant -i_a en abscisse. Si on néglige la réaction d'induit, la relation devient linéaire (ce qui se produit effectivement en pratique dans le cas, rare, où la machine est munie d'un enroulement de compensation destiné à compenser la réaction d'induit).

Lors du fonctionnement en moteur, la réaction de l'induit modifie aussi les caractéristiques de la machine. La Figure S02-4 illustre cette situation pour un moteur à courant continu avec excitation indépendante. La vitesse est obtenue en résolvant l'équation (S02-24) à tension d'induit i_a fixée. Quand on ne tient pas compte de la réaction de l'induit, courbe (A), la vitesse du moteur décroît avec l'augmentation du courant, ce qui est dû exclusivement à la chute de tension dans la résistance R_a de l'induit. Quand on tient compte de la réaction d'induit, courbe (B), l'augmentation de courant qui va de pair avec l'augmentation du couple produit une diminution du flux utile de la machine et donc, compte tenu de l'équation (S02-24), une augmentation de la vitesse. Cette augmentation peut même conduire à l'emballement de la machine (augmentation de la vitesse liée à un fonctionnement instable) pour des valeurs élevées du couple. Nous invitons le lecteur intéressé à vérifier ce point en utilisant le modèle statique de la machine DC (donc en négligeant les effets dynamiques électriques) mais en prenant un modèle mécanique comportant un couple d'inertie.

Une machine dans laquelle se manifeste une diminution du flux, due à la réaction d'induit, aura pour une valeur donnée du couple des courants d'induit plus élevées que dans le cas où le flux est maintenu constant. La Figure S02-5 illustre cette situation.

Pour obtenir un modèle dynamique, il suffit de retourner aux équations (S02-16) (S02-17) (S02-18) et d'y expliciter les dérivées temporelles des flux. On obtient

(S02-29)

(S02-30)

et

(S02-31) C_em = y_d i_a

où les coefficients L_f , L_a et M_af sont maintenant fonction des courants.

Faisant à nouveau appel à l'annexe consacrée aux circuits en quadrature, en se limitant au premier terme de réaction d'induit et en tenant compte des relations (S02-20)(S02-21), on peut déduire de (S01-43) les expressions

(S02-32)

(S02-33)

(S02-34)

On voit que le coefficient

(S02-35)

qui tient compte de la réaction d'induit n'est pas le même que celui (S02-27) qui a été utilisé dans le modèle statique. En fait, pour passer de l'un à l'autre, il faudrait connaître le rapport de transformation (S02-22). Réciproquement, si on a déterminé les coefficients dynamique et statique, il est facile de trouver le rapport de transformation (S02-22) en faisant le rapport de ces deux coefficients.

Suivant la méthode proposée dans une annexe de ce site, il est facile de déterminer le coefficient dynamique en mesurant la valeur de L_a à courant i_a nul et en observant l'influence de i_f sur cette inductance.

En pratique, on observe que cette influence est importante.

Dernière mise à jour le 16-04-2004