Circuits glissants et non linéiques
1. La théorie en bref

Savoir si les équations (S01-1) et (S01-03), et d'autres qui sont obtenues dans des cas plus compliqués comme les machines à collecteur électroniques, peuvent être ou non considérées comme les équations de circuits inductifs n'est pas une simple question de vocabulaire. En effet, si l'on a développé une théorie des circuits inductifs, c'est parce que la théorie classique a une utilité pratique.

Avant de généraliser la théorie classique, il est bon de se rendre compte des avantages apportés par cette théorie dans le cas des circuits "normaux". On pourra alors mieux comprendre les avantages que l'on pourra retirer d'une extention de la théorie aux "circuits" évoqués à la page précédente. Voyons donc ce que la théorie apporte d'utile dans le cas des circuits "classiques".

Ces circuits sont ceux qui obéissent à la loi de Faraday (S01-5). Par la suite, nous les appellerons "circuits filiformes" car ils sont habituellement constitués d'enroulements de fil électrique (conducteur de section petite par rapport à sa longueur et séparé de ses voisins et de son environnement par une gaine isolante).

Le terme de tension induite qui figure dans la loi de Faraday (S01-5) est le même pour tous les circuits ; il ne permet donc pas de caractériser les phénomènes d'induction propres à chacun. Ce rôle doit être joué par une autre relation, qui relie le flux et le courant.

Considérons un dispositif comportant n accès électrique. La tension à chaque accès est donnée par la loi de Faraday (S01-1). Ces n équations ne caractérisent cependant pas le dispositif car elles ne contiennent aucun paramètre propre au dispositif particulier considéré. Pour caractériser un tel dispositif, il faut disposer de n relations supplémentaires, dites relations constitutives. Ceci peut être fait sous la forme de n relations (les relations constitutives) donnant la valeur des flux en fonction de celles des courants.

(S01-6)

où q est la position d'une pièce mobile (par exemple l'angle de position du rotor d'un moteur).

Commentaire S01-2 : conditions de validité de (S01-6)

Commentaire S01-3 : cas particulier des dispositifs à matériaux linéaires

Les équations (S01-6) tiennent compte de l'influence de chaque courant sur chacun des flux, donc des couplages magnétiques entre les enroulements.

Dans le cas des circuits filiformes, on connaît depuis Maxwell (fin du 19ième siècle) un formalisme Lagrangien. Un tel formalisme est par exemple présenté au chapitre II de [Grenier & al., 2001]. Nous nous contenterons donc ici d'en rappeler les faits essentiels.

Le formalisme Lagrangien permet de remplacer la donnée des n fonctions (S01-6) par la donnée d'une seule fonction, à savoir la fonction de coénergie

(S01-7)

Les équations (S01-6) s'obtiennent alors à partir de (S01-7) en appliquant la règle

(S01-8)

L'équation (S01-7) présente plusieurs avantages par rapport à (S01-6)

Le premier de ces avantages est que l'expression du couple électromagnétique se déduit immédiatement de la fonction de coénergie par la règle
(S01-9)

(voir par exemple le site multimédia associé à la référence ci-dessus).

Il existe cependant d'autres avantages dont on peut tirer profit lors de la détermination des paramètres d'une machine (qu'elle soit basée sur l'identification de paramètres à partir de résultats expérimentaux ou sur l'exploitation de résultats de calculs de champs) et lors de l'utilisation du modéle (que ce soit pour la simulation ou pour la commande du dispositif) :

• L'expression des symétries d'un dispositif est plus aisée sur la fonction (S01-7) que sur les fonctions (S01-6).
• La fonction (S01-7) peut être définie à l'aide de moins de paramètres que (S01-6). L'identification sera donc plus facile, et les paramètres restant seront déterminés avec plus de précision. En outre, le modèle obtenu respectera automatiquement la conservation de l'énergie, ce qui n'est pas forcément le cas avec la modélisation (S01-6) à cause des incertitudes expérimentales ou des incertitudes liées à la discrétisation effectuée pour le calcul des champs.
• Lors d'une simulation, il existe des techniques de calcul qui tirent avantage de l'existence d'un Lagrangien.

Ces avantages seront examinés avec plus de détails en Annexe I et en Annexe II. On notera qu'ils sont d'autant plus grands que les phénomènes de saturation magnétique sont plus marqués

Certes, beaucoup d'auteurs ne considèrent les non-linéarités que de façon marginale. En pratique, cependant, les machines sont presque toujours utilisées dans des régimes où la saturation magnétique a une influence sensible parce qu'on peut de la sorte réduire la section des noyaux magnétiques, donc leur volume et leur masse, et finalement réduire le coût ou améliorer les performances dynamiques.

Malgré la simplification apportée dans ce cas par la formulation Lagrangienne, la complexité du modèle croît rapidement avec le nombre de circuits électriques du dispositif, surtout s'ils ne sont pas disposés de façon symétrique.

Par exemple,si l'on modélise une machine DC sur base d'un modèle à circuits filiformes, le nombre de circuits à considérer est plus grand (car il faut considérer les sections en commutation du rotor comme des circuits distincts) et les circuits rotoriques sont disposés de façon dissymétrique par rapport aux circuits statoriques, de sorte que la prise en compte de la saturation magnétique rendrait vite la situation inextricable.

Bien entendu, ce qui vient d'être dit des machines DC s'applique aussi à d'autres machines, comme les machines à collecteur électronique. Il y a donc une réelle utilité à étendre la théorie des circuits inductifs de façon à pouvoir considérer les "circuits d'induit" et autres "circuits" non filiformes comme des circuits auxquels la théorie soit directement applicable.

La théorie étendue sera aussi utile dans le cadre des machines à champ tournant car les "circuits direct et en quadrature" présentent une symétrie plus grande que les circuits filiformes originaux, de sorte qu'il est intéressant d'écrire la coénergie en fonction de i_d et de i_q, et d'en déduire directement les équations en termes de circuit.

Dernière modification le 14-03-2002.