Les états stationnaires de l'équation de Schrödinger non linéaire sont des solutions de l'équation elliptique de la forme \[ -\varepsilon^2 \Delta u + V u = u^p, \] dans \(\mathbb{R}^n\) où \(V : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}\) est un potentiel donné et \(\varepsilon\) la constante de Planck adimensionalisée. Dans le régime de la limite semi-classique où \(\varepsilon \to 0\), on s'attend à ce que les solutions se concentrent autour des points critiques de \(V\).

Dans le cas où \(\inf V > 0\), de nombreux travaux ont montré l'existence de solutions pour \(\varepsilon\) petit se concentrant autour de points critiques de \(V\) quand \(\varepsilon \to 0\). Je me suis intéressé au cas de la fréquence critique où \(V\) est strictement positif mais \(\inf V =0\). Dans de premiers travaux avec Denis Bonheure, nous avons adapté la méthode de pénalisation de Manuel del Pino et Patricio Felmer et nous avons montré l'existence de solutions pour des potentiels qui ne tendent pas trop rapidement vers \(0\) à l'infini. Ensuite, avec Vitaly Moroz, nous avons obtenu des résultats optimaux pour des potentiels à décroissance rapide (y compris des potentiels à support compact). Avec Denis Bonheure et Jonathan Di Cosmo, nous avons appliqué ces méthodes à l'obtention de solutions se concentrant sur des sphères de dimension \(k \in \{1, \dotsc, n-1\}\). Avec J. Di Cosmo, nous avons étudié l’existence de solutions dans la limite semi-classique pour un champ magnétique fort.

Avec Denis Bonheure, nous avons aussi étudié l'équation \[ -\Delta u + V u = Ku^p, \] dans \(\mathbb{R}^n\) où \(V : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}\) et \(K : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}\) sont des potentiels donnés. Nous avons donné des conditions sous lesquelles ce problème a une solution de moindre énergie et étudié la décroissance à l'infini de ces solutions.