ELEC 2311 : Physique interne des convertisseurs électromécaniques
Semaines 6 : Méthodes de calcul des champs (première partie)
Guidance

La plupart des solutions exactes qui ont été développées concernent un milieu linéaire et homogène, c'est-à-dire soit le vide soit un autre milieu que l'on suppose caractérisé par une perméabilité magnétique µ constante.

Les solutions les plus simples ont déjà été présentées lors du cours de physique de candidature. D'autres, plus évoluées, ont certainement été rencontrées dans d'autres cours. Il s'agit donc ici pour une large part de rappels et de mise dans un cadre électrotechnique. A noter que, puisque les équations de l'électrostatique et de la magnétostatique sont similaires, les solutions exactes de l'électrostatique ont souvent un correspondant en magnétostatique. D'autres domaines, comme la mécanique des fluides, peuvent receler des solutions adaptables au cas de la magnétostatique. Lorsque l'on fuine dans la littérature à la recherche d'une solution d'un type donné, il ne faut donc pas se limiter aux ouvrages ou aux chapitres consacrés au magnétisme.

a) Cas où le champ est uniforme

Il est évident qu'un champ B uniforme vérifie l'équation de Maxwell (S03-23). De la même façon, dans un domaine où le densité de courant est nulle, un champ H uniforme vérifie forcément l'équation de Maxwell (S03-57). Dans un milieu uniforme (linéaire ou non), tout champ uniforme qui vérifie la relation constitutive (S04-2) vérifie donc toutes les équations locales du champ. Pour qu'il s'agisse de la solution exacte d'un problème, il suffit qu'il vérifie aussi les conditions aux limites, ce qui est possible dans un certain nombre de situations simplifiées.

Exercice proposé S06-1 : champ électrique dans un condensateur plan.

Exercice proposé S06-2 : champ magnétique dans un circuit magnétique simple.

Exercice proposé S06-3 : champ magnétique dans un circuit magnétique comprenant un entrefer ( H_fer = 0).

Exercice proposé S06-4 : champ magnétique dans un circuit magnétique comprenant un entrefer ( H_fer ¹ 0).

Exercice proposé S06-5 : champ magnétique dans un circuit magnétique comprenant une partie mobile (électroaimant cylindrique).

Exercice proposé S06-6A : champ magnétique dans un circuit magnétique comprenant une partie mobile (deux entrefers de même surface en opposition).

Exercice proposé S06-6B : champ magnétique dans un circuit magnétique comprenant une partie mobile (deux entrefers de surfaces différentes en opposition).

Exercice proposé S06-7 : champ magnétique dans un circuit magnétique comprenant une partie mobile à perméabilité finie.

b) Autres cas à forte symétrie

Dans certains problèmes à forte symétrie, on peut déterminer complètement le champ B en utilisant la symétrie et l'équation de Maxwell (S03-23). Le champ H est alors déduit de B en utilisant la relation constitutive (S04-2).

Exercice proposé S06-11 : champ homopolaire dans un entrefer cylindrique.

Exercice proposé S06-12 : exemple de machine homopolaire.

Dans d'autres problèmes, on peut déterminer complètement le champ H en utilisant la symétrie et l'équation de Maxwell (S03-57). Le champ B est alors déduit de H en utilisant la relation constitutive (S04-2).

Exercice proposé S06-13 : champ dans un câble coaxial.

Exercice proposé S06-14 : champ dans un tore.

c) Autres exemples simples

Enfin, dans d'autres cas, la forme du champ doit être devinée. On peut pour cela chercher (en s'aidant de l'expérience acquise dans des problèmes similaires, dans la littérature...) une expression du champ qui peut encore contenir des paramètres à ajuster. On choisira de préférence

• soit une expression de B dont on sait qu'elle vérifie l'équation de Maxwell (S03-23);
• soit une expression de H dont on sait qu'elle vérifie l'équation de Maxwell (S03-57).

On utilise alors la relation constitutive (S04-2) pour obtenir le champ dual (H ou B selon le cas) et on ajuste les coefficients de façon à vérifier la seconde équation d'évolution et les conditions aux limites. Parfois ça marche...

Exercice proposé S06-21 : champ dans une encoche rectangulaire.

Exercice proposé S06-22 : champ dans une fenêtre de transformateur.

Exercice proposé S06-23 : champ au voisinage d'une sphère plongée dans un champ uniforme.

Exercice proposé S06-24 : champ au voisinage d'un cylindre plongé dans un champ uniforme.

...et parfois cela marche à peu près, comme nous le verrons aux pages suivantes.

d) Calcul par séparation des coordonnées

Une méthode classique de résolution analytique d'équations différentielles est appelée en théorie des fonctions la méthode "par séparation des variables". Elle s'applique à certains problèmes de calcul des champs, même si dans ce cadre ce sont les coordonnées spatiales qui jouent le rôle des variables de la théorie des fonctions.

Cette méthode convient particulièrement bien à la résolution des équations de Laplace et de Poisson. Or, dans le vide ou autre milieu linéaire de perméabilité magnétique uniforme, les potentiels obéissent à une équation de Laplace ou de Poisson.

Dans les machines, le lieu où cette hypothèse est le mieux vérifiée est certainement l'entrefer, c'est-à-dire l'espace vide existant normalement entre le rotor et le stator, ne serait-ce que pour éviter le frottement mécanique entre ces deux parties.

Or, les phénomènes magnétiques qui se déroulent dans l'entrefer ont une influence déterminante sur les caractéristiques des machines.

L'intérêt du sujet nous semble dès lors suffisant pour lui réserver une page particulière sur ce site.

e) Calcul par transformation conforme

Il existe toute une collection de solutions obtenues par transformation conforme. Un exemple d'utilisation a été le calcul par Carter du coefficient qui porte son nom, et qui permet de tenir compte de la présence des encoches lors du calcul du champ d'entrefer. Citons comme autres applications le calcul du champ entre deux pôles, le champ de fuite aux bords de l'entrefer...

Pour rappel, le principal résultat de Carter a été présenté, avec d'autres obtenus aussi par transformation conforme, en semaine 4 sous le titre " effets de surface à la limite de milieux homogénéisés.

Dernière mise à jour le 09-01-2004