FSAC 1430 Physique T4 : électricité et magnétisme
Semaines 2 : Électrostatique (seconde partie)
Guidance

Dans cette guidance, nous avons mis l'accent sur trois lois, à savoir (S02-0),à laquelle le champ électrique obéit, (S02-1), à laquelle le champ de déplacement électrique obéit, et (S02-7), qui relie ces deux champs.
Nous avons déjà noté le caractère linéaire de la première et de la deuxième lors de la guidance de la semaine 1.

La seule relation susceptible de faire obstacle à la linéarité est donc la relation (S02-7), qui est linéaire dans certains problèmes mais pas dans tous.
Si, dans le problème traité, tous les milieux en présence sont décrits par des relations linéaires telle que (S02-8) ou (S02-12), la linéarité de l'ensemble des équations est assurée.

Utilisation de la linéarité pour le calcul

Lorsque le problème traité est linéaire, on peut utiliser pour le calcul le principe de superposition.

Exercice proposé S02-14d : champ associé à une surface sphérique et un plan chargé (examen....).

Exercice proposé S02-14e : champ associé à deux lignes droites chargées dans un milieu linéaire et uniforme.

Exercice proposé S02-14g : champ associé à une surface cylindrique chargée infiniment longue mais incomplète (évaluation octobre 2003).

Superposition de champs coulombiens

On sait que le champ associé à une charge ponctuelle est, dans un milieu uniforme, un champ coulombien, c'est-à-dire radial par rapport à l'endroit de cette charge et décroissant en 1/r² (voir exercice S02-..) .

Dans un milieu uniforme, on peut donc obtenir la répartition de champ associée à une répartition de charge quelconque en sommant les champs coulombiens associés aux différentes charges en présence. Cette somme devient une intégrale lorsque la répartition de charge est continue.

Ce résultat est en particulier valable dans le vide, milieu linéaire par excellence. Le fait de pouvoir dans le vide obtenir la répartition de champ associée à une répartition quelconque de charges comme une superposition de champs coulombiens a déjà été notée en T2 (voir page 5 des Transparents FSAC 1230 Physique-Electrostatique).

Exercice proposé S02-15 : champ associé à deux charges ponctuelles.

Exercice proposé S02-15B : champ associé à un segment de droite chargé.

Exercice proposé S02-15C : champ associé à une surface cylindrique incomplète, finie et chargée.

Présence de conducteurs

En présence de conducteurs, le calcul par superposition de champs coulombiens est rarement praticable, parce que, les charges pouvant se déplacer dans le conducteur, leur répartition une fois l'équilibre atteint n'est en général pas connue a priori (sauf dans les cas de symétrie forte). Pourtant, conceptuellement, si le problème traité ne comporte, outre les conducteurs, qu'un seul milieu, supposé linéaire et uniforme de perméabilité e, on peut encore considérer le champ comme une superposition de champs coulombien. En effet, puisque les champs D et E sont tous deux nuls dans le conducteur, on peut toujours considérer que la relation ((S02-8)) est valable dans le conducteur, et donc aussi partout dans l'espace. La condition pour que le champ d'une charge ponctuelle soit coulombien est donc remplie.

Exercice proposé S02-15D : nouveau calcul du champ dû à une sphère conductrice chargée.

Exercice proposé S02-15E : nouveau calcul du champ dû à un cylindre conducteur chargé.

Dipôles

Les solutions obtenues aux exercices S02-15 et S02-14e. admettent deux cas limite intéressants, obtenus en faisant tendre vers zéro la distance séparant les deux charges ponctuelles ou les deux lignes chargées. Pour que la solution obtenue ne soit pas identiquement nulle, il faut faire tendre les charges vers l'infini en méme temps que la distance qui les sépare tend vers zéro. On obtient ainsi respectivement le champ associé à un dipôle et à une densité linéique de dipôles.

Exercice proposé S02-17 : champ associé à un dipôle électrique ponctuel dans un milieu linéaire et uniforme.

Exercice proposé S02-18 : champ associé à une densité linéique de dipôles électriques.

Exercice proposé S02-18B : champ associé à un plan portant une densité de surface de dipôles électriques.

En combinant des solutions étudiée précédemment, on peut obtenir par superperposition et juxtaposition la solution à des problèmes plus compliqués. En particulier, on pourra calculer la répartition de champ à l'intérieur et au voisinage d'une inhomogénéité de forme simple. Ceci permet d'estimer l'effet de vacuoles ou d'impuretés dans un isolant, ou encore l'effet d'une "bosse" à la surface des conducteurs (barbe, claquage local de l'isolant, conducteurs formés de plusieurs brins torsadés)

Exercice proposé S02-19 : calcul du champ électrique en présence d'une sphère conductrice au sein d'un isolant (ou d'une demi sphère à la surface d'une électrode).

Le résultat de cet exercice permet de comprendre le rôle néfaste des impuretés présentes dans les isolants, ainsi que l'effet d'un claquage local ou d'une barbe à la surface d'un des conducteurs.

Exercice proposé S02-20 : calcul du champ électrique en présence d'une inhomogénéité diélectrique sphérique dans un isolant.

La solution de cet exercice montre que, dans une vacuole ou une inclusion diélectrique dont la permittivité est inférieure à celle de l'isolant avoisinant, le champ électrique est plus intense que le champ environnant. Au contraire, dans le cas d'une inclusion de permittivité plus grande que celle de l'isolant avoisinant, le champ interne est affaibli mais, par contre, le champ au voisinage immédiat de l'inhomogénéité est plus intense que le champ environnant. Une façon de réduire l'effet des vacuoles est d'utiliser un isolant à faible permittivité diélectrique, comme le polyéthylène.

Exercice proposé S02-21 : calcul du champ électrique en présence d'un demi-cylindre conducteur à la surface d'une électrode.

Le résultat de cet exercice explique pourquoi, lorsque le conducteur intérieur d'un câble coaxial est formé de plusieurs brins torsadés, il est entouré d'un manchon conducteur dont le rôle est d'empêcher les concentrations de champ.

Dernière mise à jour le 20-09-2003