En 2004, J. Bourgain, H. Brezis et P. Mironescu ont démontré que si \(\Gamma \subset \mathbb{R}^n\) est une courbe rectifiable fermée de champ de vecteur tangent \(t\) et \(\varphi : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n\) est un champ de vecteurs, alors \[ \int_{\Gamma} \varphi \cdot t \le \lvert \Gamma \rvert\, \lVert D \varphi \rVert_{L^n}. \] J. Bourgain et H. Brezis ont généralisé cette inégalité à l'inégalité \[ \int_{\mathbb{R}^n} \varphi \cdot f \le \lVert f \rVert_{L^1} \, \lVert D \varphi \rVert_{L^n} \] si \(f\) est un champ de vecteurs à divergence nulle. Ces inégalités sont surprenantes parce que la quantité \(\lVert D \varphi \rVert_{L^n}\) ne donne pas de borne sur \(\lVert \varphi \rVert_{L^\infty} \) soit un champ de vecteurs borné. Ces inégalités ont des conséquences sur la régularité des solutions de systèmes elliptiques à donnée \(L^1\).
Dans ce domaine,
- j’ai fourni des preuves élémentaires de l'inégalité de circulation et de l'inégalité pour des champs de vecteurs à divergence nulle,
- j’ai obtenu une inégalité où la condition de divergence nulle est remplacée par une condition générale d'ordre plus élevé,
- j'ai étudié les relations entre le fait de satisfaire des estimations de ce type et l'espace des fonctions à oscillation moyenne bornée \(BMO\),
- avec H. Brezis, j'ai étudié les estimations au bord correspondantes et posé certains problèmes de constantes optimales,
- avec S. Chanillo, j'ai obtenu les inégalités correspondantes sur les groupes stratifiés homogènes comme le groupe de Heisenberg,
- avec S. Chanillo and Po Lam Yung, nous avons donné des applications à la mécanique des fluides et à l’électromagnétisme,
- avec S. Chanillo et Po Lam Yung, we avons démontré des estimations semblables sur des espaces symétriques de type non compact.
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