ELEC 2311 : Physique interne des convertisseurs électromécaniques
Semaine 4 : Caractérisation des matériaux
Guidance

La correspondance que nous avons décrite en semaine 3 entre les grandeurs locales (de type champ) et les grandeurs globales (de type circuit) entraîne que, connaissant le comportement des matériaux utilisés, on peut en déduire le comportement des grandeurs globales ( i , q, u , y ...).

La correspondance entre modèles locaux et globaux n'est pas utilisée uniquement pour calculer des caractéristiques globales à partir de caractéristiques locales. Pour déterminer les propriétés locales, on effectue le plus souvent l'opération contraire.

Dans ce cas, on choisit souvent un dispositif conçu expressément pour faciliter la correspondance. Le plus simple du point de vue du calcul à effectuer est d'utiliser un circuit magnétique de section constante et de faible courbure constitué du matériau à caractériser. En négligeant les champs extérieurs à ce circuit magnétique, on a les relations simples

(S04-10)H = i (n₁ / L )

(S04-11)B = y / ( S n₂ )

où L est la longueur du circuit magnétique, S sa section, n₁ le nombre de spires de l'enroulement où l'on fait passer un courant et n₂ le nombre de spires de l'enroulement utilisé pour mesurer le flux.

Des corrections peuvent être apportées pour tenir compte de champs de fuite, de la présence d'un entrefer dans le circuit ou d'un écart de celui-ci par rapport à une géométrie idéale (voir le cours ELEC 2370, partie mesures, pages IV 6 à IV 14).

Aux relations constitutives locales vont correspondre des relations constitutives globales.

Notons d'abord que la séparation des phénomènes électriques et magnétiques au niveau local ne se maintiendra au niveau global que si elle est réalisée sur l'ensemble du dispositif (élément de circuit qui peut comporter plusieurs accès) considéré.

On peut alors obtenir des relations constitutives de la forme

(S04-12) i (t) « y (t)

ou

(S04-13) q (t) « u (t)

et

(S04-14) i (t) « e (t)

en plus des équations d'évolution formées de (S02-6), (S02-8) et des lois de Kirchhoff. Dans la guidance de la semaine 2, nous n'avions pas considéré d'éléments de circuits aussi généraux, nous limitant aux cas particuliers (S02-20)(S02-22) et (S02-24) dans le cas linéaire, puis (S02-28) à (S02-30) dans le cas non linéaire.

La distinction entre le champ électrique E et le champ "électromoteur" E' , ce dernier étant plus impliqué dans la description des propriétés des matériaux au vu de (S04-1) et (S04-3), peut s'étendre aux relations globales. Pour cela, remplaçons dans l'équation (S03-42) le champ E par son expression (obtenue par la transformation de Galilée)

(S04-15) E = E' - v x B

On a obtient ainsi

(S04-16) e = e' + òò òN . ( v_a - v ) x B dV

(S04-17) e' = ò òò N . E' dV

est la "force électromotrice" intrinsèque, c'est-à-dire celle qui tient compte des caractéristiques du matériau. Souvent, ce dernier terme se réduit à un terme ohmique R i , mais il peut aussi rendre compte de résistances non linéaires (contact balai - couronne), de phénomènes liés à un gradient de concentration (piles...) ou de température (thermocouples...).

La formule (S04-16) montre comment l'on peut reconnaître la nature de l'élément de circuit modélisé par la densité de conducteurs N . On considère pour cela un mouvement de la matière à un degré de liberté q, comme défini dans la guidance de la semaine passée à la formule (S03-4), soit

(S04-18) v = u dq/dt

Si la vitesse du circuit v_a est à tout instant égale à celle de la matière (S04-18), on a affaire à un circuit filiforme (pas de terme de glissement).

Si v_a et v ont la même forme, c'est-à-dire que l'on peut écrire

(S04-19) v_a = u dr/dt

en utilisant le même champ de vecteur u pour décrire le mouvement de la matière et celui du circuit, on peut dire que les variables globales r et q sont associées et que le circuit est un circuit glissant. En effet, dans ce cas, la force électromotrice de glissement est proportionnelle à la différence entre la dérivée temporelle de q et celle de r .

Exercice proposé S04-1 : force électromotrice de glissement dans un disque de Faraday.

Exercice proposé S04-2 : remplacement d'un circuit glissant par un circuit filiforme fictif (question abstraite).

Le sens commun nous dit que, pour augmenter la puissance d'un dispositif, on devra augmenter sa taille. R&eaute;ciproquement, si on n'utilise pas un dispositif à sa puissance maximale, on peut réduire sa taille en même temps que cette puissance.

Il est donc tentant, si l'on a étudié un dispositif et que le niveau de puissance admissible (mesurée ou calculée) ne correspond pas bien au besoin, de "concevoir" un nouveau dispositif en multipliant tout simplement toutes les dimensions du premier par un même facteur, que nous appelleront b.

Le procédé n'est manifestement pas universel : une souris qui atteindrait la taille d'un éléphant se briserait les membres sous son propre poids !

En fait, ce qui nous gêne lorsque l'on cherche à appliquer un facteur d'échelle, ce sont les relations non linéaires. Ces relations viennent de la saturation magnétique, des phénomènes thermiques, des phénomènes de résistance des matériaux...
Pour pouvoir appliquer un facteur d'échelle, il faut mettre l'accent sur un seul de ces phénomènes non linéaires.

Dans le cas d'une machine qui comporte des matériaux magnétiques, la saturation magnétique joue un rôle important. D'un point de vue électromagnétique, c'est même souvent le seul phénomène non linéaire. On peut donc faire correspondre à tout état électrique de la machine originale un état de la nouvelle machine caractérisé par les mêmes champs H et H, et les mêmes fréquences (donc aussi la même vitesse de rotation).

On montre que, pour cela, les tensions doivent être multipliées par b² et les courants par b.

Les puissances sont donc multipliées par b², c'est-à-dire qu'elles sont proportionnelles au volume du dispositif.

ATTENTION : une erreur fréquente consiste à croire que le régime qui correspond au régime nominal de la première machine est le régime nominal de la seconde. Cette supposition est fausse, ne serait-ce que parce que la chaleur ne s'évacue pas de la même façon dans les deux machines. Lorsque l'on augmente la taille d'un dispositif, on peut normalement trouver un régime plus favorable que l'image du régime nominal du premier : la puissance nominale augmente dès lors plus vite que la taille du dispositif. Un gros convertisseur est donc souvent plus intéressant qu'un ensemble de petits convertisseurs totalisant la même puissance nominale, contrairement à ce que la loi de similitude développée ici pourrait faire croire ! Cette loi de similitude est un outil permettant de réaliser une économie dans les calculs d'analyse de machines, pas une recette fournissant directement une nouvelle machine optimale.

Exercice proposé S04-2 : lois de similitudes

Dernière mise à jour le 30-09-2003